第五章 矩阵的相似对角化

复习建议

本章内容主要介绍特征向量,

相似矩阵和对角化以及实对称矩阵。

建议学员重点掌握(1)特征向量及其特点; (2) 矩阵对角化。从题型来讲包括单项选择题、多项选择题、判断题、不定项选择题以及计算题题的题型都要加以练习。

第一节 特征值和特征向量

设是阶方阵，若有数和非零向量，使得

称数是的特征值，非零向量是对应于特征值的特征向量。

例如对，有及向量，使得，这说明是的特征值，是对应于的特征向量。

教材150页例题5.3 重点介绍特征多项式和特征方程,该题给出一个2阶矩阵,让你求解特征值和特征向量.计算思路是首先根据特征多项式求解方程,确定特征值为-2,-4. 然后分别针对不同特征值建立齐次方成,求解特征向量即可

2. 特征值和特征向量性质

性质1. n阶方阵A=(a_ij)的所有特征根为l₁，l₂，…, l_n(包括重根)，则

这里教材介绍一个概念叫矩阵的迹

性质2. 若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则是A^-1的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

性质3. 若λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ^m是A^m的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

性质4. 设λ₁，λ₂，…,λ_m是方阵A的互不相同的特征值。x_j是属于λ_i的特征向量( i=1,2,…,m)，则 x₁,x₂,…,x_m线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。

步骤1．由得，并且由于是非零向量，故行列式，即

（称之为的特征方程）

由此可解出个根（在复数范围内），这就是的所有特征值。

步骤2．根据某个特征值，由线性方程组解出非零解，这就是对应于特征值的特征向量。}

第二节 相似矩阵和矩阵的对角化

1. 相似矩阵

设A,B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P使则称B是A的相似矩阵,或说B与A相似.

2. 性质

1) 反身性 :任意方阵A,都有A∽A；

2) 对称性 :若A∽B,则B∽A；

3) 传递性:若A∽B,B∽C,则A∽C。

3. 矩阵对角化定义

设A,B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P使 ，这里如果B为对角矩阵。

定理1若阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值相同

推论若n阶矩阵A与对角矩阵相似,则对角元素为特征值

定理2n阶方阵A与对角矩阵相似 (A能对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.

推论如果n阶方阵A有n个不同的特征值,则A能与对角阵Λ相似.

第三节 实对称矩阵的对角化

定义：如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，矩阵A的转置等于其本身(AT = A) ，则称A为实对称矩阵。

特点：实对称矩阵的特征值一定是实数，而且一定能对角化。实对称矩阵是一类很重要的矩阵，它具有一些特殊的性质，特别是，它可以正交相似于一个实对角阵。

相关定理：

（1）实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交。

（2）对于n阶实对称矩阵，存在正交矩阵Q,使得

这里 λ1 λ2......λn为A的全部特征值

求解步骤：

设A 是一个n 阶实对称矩阵，通常来讲,求正交阵使实对称矩阵正交相似于对角阵的具体算法是：

（1）求出实对称矩阵 A 的特征多项式

Δ (λ) =|λE-A| =( λ- λ1 ) ( λ- λ2 ) ... ( λ-λn )

其中

（2）对每个特征值λ，求出齐次线性方程组的基础解系, （注意，基础解系所含的线性无关的解向量的个数是特征值的代数重数）,i=1,2......s.

（3）分别把属于每个特征值λ i 的个线性无关的特征向量标准正交化，得到 , i=1,2........s .

（4）取正交阵 T= 那么 T AT = T AT=diag( )

教材165页例题5.22 说明: 该题是给出一个3阶方阵,显然为实对称矩阵,让你求解正交矩阵,从而实现该3阶方阵的对角化.通过已知条件很显然可以直接判断该题市考察对称矩阵的对角化问题. 清楚这一点后就可以按照实对称矩阵的对角化步骤进行求解.

具体步骤：第一步求解特征值，容易看出特征值为三个，其中两个是相等的；

第二步求解特征向量，将特征数值代入得到方程组，求解得到特征向量，值得注意的是特征向量如果来自不同特征数值，则必定正交，但是如果来自相同的特征值则需要进行正交化处理。