1.2 函数概念及基本初等函数

一、函数的概念


　　定义：设、是两个变量，的变化范围是实数集D.如果对于任何的，按照一定的法则都有唯一确定的值与之对应，则称变量是变量的函数，记为，称D是函数的定义域，为自变量，为因变量．

　　当 取数值时，与对应的的数值称为函数在点处的函数值，记作．全体函数值的集合称为函数 的值域，记为，即．
　　注意：
　　(1)　定义域就是自变量的取值范围，值域就是因变量的取值范围．
　　(2)　函数的记号也可用其它字母，例如“”，“”，“”，“”，等等．
　　(3)　因为函数的定义域和对应法则一旦确定，其值域也随之而确定，所以定义域和对应法则称为函数的两要素．“两个函数相等”就是指这两个函数的定义域相同，对应法则也相同．

　　典型例题
　　例 1.2.1　下列各函数对是否表示同一个函数？
　　(1) ，．
　　(2) ，．
　　(3) ，．
　　(4) ，．
　　解
　　(1) 的定义域为 ，的定义域为，因此，与定义域不同，从而不是同一函数．
　　(2) 与的定义域均为，但
 ，
　　可见取值总是非负的．与的对应法则不同，不是同一函数．它们的图形如图所示．
　　(3) 与的定义域均为，又对任意，有．定义域及对应法则均相同，所以与是同一函数．
　　(4) 的定义域为，而的定义域．定义域不同，所以与不是同一函数．

　　例 1.2.2　求下列函数的定义域：
　　(1)
　　(2)
　　(3)
　　关于求函数的定义域，如果函数是由实际问题得出，则定义域根据实际情况而定；对于一般用公式表达的函数，只需使函数式有意义即可．例如：分母不能为零；负数不能开偶次方；对数的真数为正，和的定义域为，即，等等．
　　解　
　　(1)　，即，故定义域为：．
　　(2)　，解此不等式得
，
　　故定义域为： ，即．
　　(3)，即，故定义域为：，即．

　　例 1.2.3
　　(1)　设．求；
　　(2)　设，求；
　　(3)　设，求；
　　(4)　设，求．
　　解　(1) ；
　　　　　　；
　　　　　　， ；
　　　　　　，
　　　　　　．
　　　　(2) 令，则，代入得
，
　　所以　．
　　或者将原式右端凑成的表达式得
，
　　视函数的自变量是，将用替换，即得．
　　　　(3) 将原式右端凑成的表达式得
　　即得　．
　　　　(4) ，．

二、函数的常用表示法


　　函数有三种常用表示法：图形表示法；表格表示法；解析表示法．
　　1 、图形表示法
　　图形表示法就是将自变量和因变量之间的对应关系通过图形表示出来．教材第8页例4给出的自动测温仪描绘的“气温曲线”就是一例，它描述了某地在某一时间段内气温与时间的函数关系．
　　2 、表格表示法
　　表格表示法就是把自变量与因变量的对应关系用表格列出来．例如对数表，三角函数表等，都是以表格形式来反映函数关系．又如，据统计，1960年到1968年之间世界人口（单位：百万）增长情况如下表．
年份t 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968
人口n 2972 3061 3151 3213 3234 3285 3356 3420 3483
　　由表中看，人口数量n和年份t存在对应关系，对于任何一个的整数，都有唯一的人口数n与之对应，因此，n是t的函数，这个函数的定义域是数集，值域是数集．

　　3 、解析表示法
　　用公式来表示函数的方法就叫解析表示法．
　　用公式表示的函数形式又可细分为以下几种类型．
　　(1)显函数：，例如：，．
　　(2)隐函数：，例如：，．．
　　(3)分段函数：由几个解析式共同表示，例如：
　　这里，是定义在上的一个函数，由三个解析表达式来共同完整地表达，而不能视为三个函数．
　　(4)参数式：变量与都表示成第三个变量的函数，通过第三个变量联系起来，形成它们之间的函数关系，形如
．
　　为参数，也叫参变量．
　　例如，圆方程可以写为参数形式
，
　　又如，椭圆方程可以写为参数形式
．

三、基本初等函数及其图形


　　在初等数学中，我们学过以下六种函数，它们统称为基本初等函数．这六种函数分别为：
常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数．
　　对这六种函数，要求熟练掌握它们的表达式、定义域、值域，并能熟练地画出它们的图形．例如幂函数中的，，，，，指数函数和对数函数中当时的，，要求能够不假思索地画出它们的图形．
　　这部分内容见教材本章的第五节．
　　此外，部分高数中最常用的初等数学的公式，附录在本节的同步练习中．
　　附录：高数中常用的初等数学知识

　　一、平方差、立方差等代数公式
　　，  
　　，
　　，
　　，

　　二、数列求和公式
　　1、等差数列前项之和：．
　　2、等比数列前项之和：．
　　3、无穷递缩等比数列之和：．

　　三、三角公式
　　1、之间的关系式：
　　，，，
　　，，，，，
　　，．

　　2、倍角公式
　　， ，
　　，．

　　3、和（差）角的三角公式
　　，，
　　．

　　4、积化和差公式
　　，
　　，
　　．

　　5、和差化积公式
　　，，
　　，．

　　四、 特殊角的三角函数值
        
　　只需记住如上图所示的两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出特殊角的三角函数值如下表所示．
0        
0 1
1 0
0 1 无定义
无定义 1 0
　　此外，还需记住：
   
0
0 无定义
无定义

　　五、关于幂函数
　　1、为正整数n时，表示n个x相乘．例如，．
　　2、为分数时，=．例如，，．
　　3、．例如，．
　　4、运算性质：，．
　　例：．

　　六、关于指数函数
　　例如：，，均为指数函数，在高等数学中，最常见的是．
　　运算性质：；        ；
　　（同底相乘：底不变，指数相加；同底相除：底不变，指数相减）
；　　　　　　；
；　           ．

　　七、关于对数函数 （）．
　　例如：均为对数函数，在高等数学中，最常见的是自然对数，其运算性质为：
  ；   ；
  ；   ；
  ．