2.2 数项级数的基本概念

一、数项级数的定义及敛散性


　　定义：设给定一数列：，则称表达式
为数项级数，简称级数．记为，即
，
其中第项称为级数的通项，也称为一般项．

　　注意：级数一定是由无穷多项相加而成的式子．
　　例如：是级数，不是级数；
　　　　　是级数，不是级数．

　　由中学学过的无穷递缩等比数列的求和公式可得
，
　　可见，这里的“无穷项求和”的结果等于一个数．
　　而对于级数
，
　　从直观上可知，这里的“无穷项求和”不等于任何数．
　　接下来要研究的问题是：“无穷项求和”的运算如何进行？
　　定义：记级数的前项和为
，
　　显然　．
　　如果（常数），则称级数收敛，并称S为级数的和，记作．
　　如果不存在，则称级数发散．

　　典型例题
　　例 2.2.1　讨论等比级数（又称为几何级数）
的敛散性．其中，叫做级数的公比．
　　解　
　　(1)如果，级数的前项和
　　当时，由于，从而，因此这时级数收敛，其和为．
　　当，由于，从而，这时级数发散．
　　(2)如果，则当时，级数的前项和，因此级数发散；当时，级数成为
，
，
　　显然随着的增大，总是在或零上来回跳动，从而的极限不存在，这时级数也是发散的．

　　综上所述，我们得到：等比级数的公比为，则当时，级数收敛，且收敛于；如果，则级数发散．简记为
发散，
可记忆为
发散，  
　　由此公式，我们可以很快地得出：
　　，级数收敛．
　　，级数收敛．
　　发散．

　　例 2.2.2　判定下列级数的敛散性：
　　(1) ；　　(2) ．
　　解
　　(1)∵，
　　　 ∴
　　　　，
　　从而，故级数发散．
　　(2)由于
，
　　所以
．
　　从而
，
　　故级数收敛，它的和是1．

　　例 2.2.3　判定级数的敛散性．
　　解　级数的前项和
　　
　　　 ，
　　因为
，
　　所以级数发散．
　　也可以这样化简：
　　
　　　
　　备注：这里用到初等数学中的公式：，．

二、级数的基本性质和收敛的必要条件


　　性质1　若为非零常数，则与同时收敛或同时发散，且在收敛时，有
．
　　此性质说明：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不会改变．
　　性质2　设级数与都收敛，则也收敛，且
．
　　此性质说明，两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减．

　　性质3　在级数中去掉、加上或改变前面有限项的值，不会改变级数的敛散性．
　　性质4（级数收敛的必要条件）　若级数收敛，则它的一般项趋于零，即
．
　　此性质说明，一般项的极限为零是级数收敛的必要条件．
　　推论：若，则级数发散．
　　注意：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件．有些级数虽然一般项趋于零，但仍然是发散的．将在后面学习的调和级数就是这样的例子．

　　典型例题
　　例 2.2.4　判断级数的敛散性．
　　解　，而级数收敛，所以由性质1知收敛．

　　例 2.2.5　判定级数的敛散性，若收敛求此级数的和．
　　解　因为级数收敛，且
，
　　又级数也收敛，且；所以由性质2，
．

　　例 2.2.6　判定级数的敛散性．
　　解　级数的一般项为，因为
，
　　所以级数发散．

三、正项级数的敛散性判别


　　定义：设数项级数中的每一项都是非负的，即（），则称该级数是正项级数．

　　定理（比较判别法）：设，是两个正项级数，若，则
　　(1) 当收敛时，收敛；
　　(2) 当发散时，发散．

　　有了这个定理，在判断一个正项级数的敛散性时，可以利用另一个收敛性为已知的正项级数来比较．
　　形如的级数称为－级数，可以证明－级数当时收敛，当时发散．其中时的级数也称为调和级数．

　　典型例题
　　例 2.2.7　判定下列级数的敛散性：
　　(1) ；  (2) ；  (3)
　　解
　　(1)因为，是调和级数，所以级数发散．
　　(2)因为，所以级数收敛．
　　(3)因为，所以级数发散．

　　例 2.2.8 　判定下列级数的敛散性：
　　(1)；　　(2)；　　(3)．
　　解
　　(1) ∵，∴，，而收敛，故收敛．
　　(2) ∵，
　　　　∴，而发散，所以发散．
　　(3) ∵，∴，而发散，所以发散．

(1)数项级数及其收敛与发散的概念；
(2)数项级数敛散性的常用判别法：
　　①等比级数的敛散性判定及收敛时的求和．要求掌握有关的结论和公式．
　　②－级数的敛散性．要求掌握有关的结论．
　　③对于正项级数，在利用比较判别法时，常以－级数作为参照．
　　④当以上判别方法都不适用时，考虑用敛散性的定义进行判别．
　　⑤利用级数收敛的必要条件只能说明，一般项极限不为零的级数发散，但一般项极限为零的级数未必收敛．
重点题型：判断级数的敛散性．