2.4 无穷小量和无穷大量

一、无穷小量


　　1、 无穷小量的概念
　　定义：如果在的某种趋向下，函数以零为极限，则称在的这种趋向下，函数是无穷小量．简称无穷小．
　　简言之，极限为零的变量是无穷小．

　　例如，因为，所以是时的无穷小；
　　因为，所以是时的无穷小；
　　因为，所以当时为无穷小；
　　因为，所以当时不是无穷小．
　　注意：
　　(1)无穷小量是指极限为零的量，不是指“很小的数”，所以，，均不是无穷小量，而0是无穷小量．
　　(2)无穷小量与自变量的变化趋势相关联，例如，当时是无穷小量，但当时不是无穷小量．

　　2 、 无穷小量与函数极限的关系
　　定理：若在的某种趋向下，函数，则在的这种趋向下，是无穷小量．其逆亦真．
　　显然，<＝>，由此，若记 ，则
．

　　这个定理阐述了无穷小与函数极限的关系：设在自变量的某种趋向下，函数极限存在，则该函数等于它的极限值与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这函数的极限．

　　3 、无穷小量的性质
　　(1)有限个无穷小的代数和是无穷小．
　　(2)有限个无穷小的乘积是无穷小．
　　(3)有界函数与无穷小的乘积是无穷小．
　　(4)常数与无穷小之积是无穷小．

　　典型例题
　　例 2.4.1　求下列极限：
　　(1) ；　　　　　　(2) ；
　　(3) ，其中．　
　　解　
　　(1) ，其中
　　∵时，∴是无穷小；
　　∵，∴有界，
　　故　．
　　(2) ∵时，，∴是无穷小，而的极限虽然不存在，但，所以有界，故
．
　　(3) 因为当时，每一项都是无穷小量，即，，故所求极限为个无穷小量之和．由性质(1)可得
．
　　思考：若将中的改为，是否仍有
　　正确的做法是：
．
　　可见，无穷多个无穷小未必是无穷小．

二、无穷大量


　　1 、无穷大量的概念
　　定义：在的某种趋向下，若函数的绝对值无限增大，则称函数是在的这种趋向下的无穷大量，简称无穷大．

　　这里的极限也可以只考虑单侧．
　　例如： ，，
　　 是时的无穷大，是时的无穷大；
　　 ， 　　 ∴是时的无穷大．
　　 ，　 ∴是时的无穷大．
　　 ，　　∴是时的无穷大．
　　 ，∴是时的无穷大．

　　注意：
　　(1)无穷大是指绝对值无限变大的量，不是指“很大的数”，所以，，均不无穷大量．
　　(2)无穷大与自变量的变化趋势相关联，例如，当时是无穷大，但当时是无穷小．

　　2 、无穷小与无穷大的关系
　　定理：在自变量的同一变化过程中，若为无穷大，则为无穷小；若为无穷小，且，则为无穷大．

　　例2.3.9中求极限，就应用了这一定理．
　　∵，∴．

　　典型例题
　　例 2.4.2　判断下列函数在指定的过程中是无穷大量还是无穷小量．
　　(1)，；　　　　　　(2)，；
　　(3)，；　　　　 　　(4)，．
　　解
　　(1)因为，所以当时，是无穷小量．
　　(2)因为，所以当时，是无穷小量．
　　(3)因为，所以当时，是无穷大量．
　　(4)因为，所以当时，是无穷大量．

三、无穷小量的比较


　　无穷小是极限为零的变量，但在无限接近零的过程中，还有个接近的快慢程度问题．
　　请看下表，这里列出了函数与当过程中的变化情况．
　　　　　　　　　　 　　　　　……　　　　　

　　　　 　　　　 　　　　　 ……　　　　　

　　　　　　　　　　 ……　　　　　
　　显然，与当均为无穷小量，但趋向于零要比趋向于零快，所谓无穷小量的比较就是指这种趋向于0的“快”与“慢”的比较．

　　定义：设与在自变量的同一变化过程中为无穷小，，
　　(1) 若，则称是比高阶的无穷小，记为；
　　(2) 若，则称是比低阶的无穷小；
　　(3) 若，则称与为同阶无穷小；特别地，若，则称与为等价无穷小，记为．

　　对于(1)的情形，可以这样理解．趋向于0要比趋向于0快得多．(2)的情形可以化为(1)．对于(3)的情形，可以理解为与趋向于0的快慢程度大体上保持了倍数关系．

　　注意　只有同一个变化过程中的 无穷小，才可以进行比较．
　　例如，当时，与均为无穷小，而，于是当时，与是等价无穷小量．又如当时，与均为无穷小，而，于是当时，与为同阶无穷小．又如时，与均为无穷小，而，，于是当时，是的高阶无穷小量，记为，而是比低阶的无穷小量．

　　在例2.3.11中曾求出极限
　　，，，
　　所以，时，，，．

　　典型例题
　　例 2.4.3　证明　当时，与是等价无穷小，与是等价无穷小．
　　证
　　(1)因为
　　　　　　　　　　　 ，
　　所以　()．
　　(2)求，作变量代换，令，则当时，，且，于是
，
　　所以　()．

四、等价无穷小在求极限中的应用


　　可以证明，求极限时，分子或分母中 的无穷小乘积因子可用其等价无穷小代换．这种代换常使极限计算简化．
　　最常用的等价无穷小有：当时，，，，，，(为常数)．其中也可换为极限为零的因子，例如
　（）
　（）
　（）

　　典型例题
　　例2.4.4　求下列极限：
　　(1)； 　　　　　　　　(2)；
　　(3) ； 　　　　　　(4) ．
　　解
　　(1) ．（时，，）
　　(2) ．（时，）
　　(3) 原式=．
　　　　或者利用（），得
　　　　原式=．
　　(4) ．（时，）
　　注意　求极限时，分子或分母中的无穷小乘积因式可用其等价无穷小代换，但加减运算中的各项不能作等价无穷小代换．例如，以下做法是错误的：
．

　　例 2.4.5 　当时，无穷小量，，按从高阶到低阶的排列是(    )．
　　(A)　       (B) 　      (C)　      (D)　  
　　解答>>
解　 ；；．
　　可见当时，在中，是最高阶的无穷小，次之，是最低阶的无穷小，所以应当选(B)．

1 、概念
(1)无穷小量（简称无穷小）：以0为极限的变量，与自变量的变化过程相联系．
(2)无穷大量（简称无穷大）：绝对值趋于无穷大的变量，与自变量的变化过程相联系．
(3)无穷小的比较方法；高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小的概念．

2 、运算性质
(1)有限个无穷小的代数和是无穷小．
(2)有限个无穷小的乘积是无穷小．
(3)有界函数与无穷小的乘积是无穷小．
(4)常数与无穷小之积是无穷小．
(5)非0无穷小的倒数为无穷大；反之，无穷大的倒数为无穷小．
(6)求极限时，分子或分母中的无穷小乘积因子可用其等价无穷小代换．要求能记住常用的等价无穷小，并能熟练应用于极限的运算．