一、基本初等函数的导数公式(1) ,是常数 (2) (3) ,特别地,当时, (4) ,特别地,当时, (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) |
二、导数的四则运算法则
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典型例题 例3.2.1 求下列各函数之导数. 提示1>> (1) . (2) ,求. (3) . (4) . (5) . 解 (1) . (2) = . (3) . (4) 提示2(*针对(4)(5)*)>> 所以,. 同理可得公式: . (5) 所以,. 同理可得公式: . |
课堂练习 (1) 设,则=( ) A.; B.; C.; D.. ( :此题是2005年7月的一道试题) (2) 设,求. ( :此题是2005年7月的一道试题) (3) 设在可导,而且,那么函数也在可导,且有=( ) A. ; B. ; C. ; D. . ( :此题是2004年1月的一道试题)
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例 3.2.2 求的导数. 提示>> 解 = = =. |
例 3.2.3 ,求. 解 于是 |
三、反函数的求导法则反函数的求导法则可简记为:反函数的导数等于其直接函数的导数的倒数,即 公式表中几个反三角函数的导数公式都是根据三角函数的导数公式推出来的. |
四、复合函数的求导法则复习:函数套函数而得到的函数就是复合函数. 复合函数可以由外而内、由表及里地进行层层分解.分解出的每层函数均为基本初等函数或多项式时,分解是正确的. 例如:可以分解为,,称为中间变量.层次结构为:. 又如,函数可以分解为,,,这里有两个中间变量和.层次结构为:.
注意:此法则可推广至中间变量有两个或两个以上的情形.例如,是的函数,是的函数,是的函数,层次结构为:,则对的导数为 |
典型例题 例 3.2.4 设,求. 解 令,, |
例 3.2.5 求下列函数的导数 提示>> (1) ; (2) ; (3) . 解 (1) ,, . |
对复合函数求导数,熟练后也可省略中间变量,直接由外往里,逐层求导,作乘积. 例如,刚才这个例子可以这样写: (1) , (2) , (3) , |
例 3.2.6 求下列函数的导数 (1) ; (2) ; 解 (1) 因为, 所以 所以 |
例 3.2.7 设,求. 解 = . 例 3.2.8 设,求. 解 = = =. |
例 3.2.9 求函数的导数. 提示>> 解 = = ==. |
五、复合函数的求导法则(续)典型例题 例 3.2.10 设,求. 解 = = = =. |
例 3.2.11 设,求. 解 在各分段子区间内是初等函数,先求在各分段子区间内的导数. 当时,,∴, 当时,,∴. 当时,由于在点的左、右两侧表达式不同,故应分别考察左、右导数. 因而 , 故 . 又 综上所述,有 |
类似地可研究的导数,得出当时, 复习:复合函数链式求导法则的记号:,也可以记为 |
例 3.2.12 设是可导函数,,求. 解 . |
例 3.2.13 设,则=( ). (A) ; (B) 4; (C) ; (D) . 解 由题设是的反函数,由反函数的求导法则知 |
例 3.2.14 设可导函数是奇函数,证明是偶函数. 证 由题设可知:,两边对求导得 |