3.5 微分及其运算

一、微分的定义

　　引例
　　如图，正方形金属薄片受热发生变化，其边长由

变到

，面积也发生了相应的变化，试给出此薄片的面积的改变量．
正方形的面积公式

，

是边长．当边长由

变化到

时，正方形面积的增量（改变量）为

．

　　分析的构成，它由两部分构成：
　　第一部分是关于

的线性函数，称为

的线性部分，

是与

无关的常数．
　　第二部分是比

高阶的无穷小(

时)，可记为

．
　　当

很小时，

主要取决于第一部分，第二部分对

的影响相对较小，可以忽略不计，即面积的增量：

．


	定义：设函数在某区间上有定义，及在这区间内，若函数的增量可表示为，其中为不依赖于的常数，而是比高阶的无穷小，则称函数在点可微，称为在点处相应于自变量增量的微分，记为，即．

　　注意：当自变量的改变量很微小，即

很小时，函数在某点的微分是其增量的近似值，即

．

　　接下来的问题是：(1)函数可微的条件是什么？(2)微分定义式

中的

是什么？
　　可以证明：
　　(1)　函数在某点可微的充分必要条件是在该点可导．
　　(2)　若函数在某点可微，则在该点必然连续．
　　(3)　函数

在点

的微分

，其中的

．更一般地，函数在点

的微分

，其中的

，而自变量

的增量就等于它的微分，即

，于是微分的定义式为．　　可见，函数

的微分

等于函数的导数

与自变量

的微分

的乘积．
　　如果在上式两端用

去除，得

，即函数的微分除以自变量的微分等于函数的导数，因此导数也称为“微商”，意即“微分之商”．

　　典型例题
　　例 3.5.1　求函数

在

，

时的增量

与微分

．
　　解　所求的增量为

．　　

，注意到自变量的增量就等于它的微分，所以所求的微分

．　　可见，在此题中，

．

　　例 3.5.2　设函数

在

的某邻域内有

，　　则

=（　　　）．
　　解　当自变量从

变到

时，函数就相应地从

变到

，由此自变量的增量和函数的增量分别为

，

，　　从而

可以写为

，　　对照微分的定义知

在点

处可微，且

，故应填2．

二、基本初等函数的微分公式与微分运算法则

　　由微分的定义

可知，求函数之微分只要求得其导数，再乘以自变量的微分

即可，因此有一个导数公式，相应地就有一个微分公式．
　　1 、基本初等函数的导数公式和微分公式

1、	(为常数)；
2、	(为任意常数)；
3、	；
4、	；
5、	；
6、	；
7、	；
8、	；
9、
特别地，当时，,；
10、
特别地，当时，,；
11、	；
12、	；
13、	；
14、	．