4.2 洛比达法则

一、前言



　　通过本节的学习，我们需要掌握下述类型的未定式求极限的方法．它们是：
,,,,,,
　　首先学习洛比达法则，这是一种求,型未定式的极限的方法．至于其它未定式，只需设法变形转化为,型，就可以用洛比达法则了．

二、和型未定式的洛比达法则


　　对于分式，如果在自变量的某一个变化过程中，分子分母的极限均为零或均为无穷大，这时该分式的极限可能存在，也可能不存在，无法直接确定，通常称这种分式的极限为未定式，分别记为“”和“”．

　　(洛必达法则)　在自变量的某一个变化过程（或、、、、）中，设和满足下列条件
　　(1)函数的极限均为0(或)；
　　(2)均可导，即存在，且；
　　(3)存在（或为），
　　则　．

　　洛比达法则的意义是，当满足定理的条件时，和型未定式可以通过对分子分母分别求导来确定其极限．

　　说明：
　　(1)必须首先判定所求极限的类型，对于或型未定式才可考虑用洛比达法则．
　　(2)对于和型未定式，洛必达法则并非是万能的，例如不满足条件(3)时洛必达法则就不能用，此时需改用我们在第二章中所学的其它方法．

　　典型例题
　　例4.2.1　求极限　　提示>>
　　解　当时，分子，分母，所以这是型未定式．
      
   
　　也可以把对极限类型的判断结果写在极限式后，就象这样：
      
   

　　例4.2.2　求极限．　　提示>>
    解  
     
     
     

　　注：
　　(1)本题两次运用了洛比达法则；
　　(2)解题步骤中第二行中的极限，也可运用重要极限得=．
　　思考：如果不用洛比达法则，怎样求解以上两个题？
　　      
　　例4.2.1　求极限.
　　解　(分子分母同乘以，并将分解因式)，
   
   
   

　　例4.2.2　求极限.
　　解　方法1 利用三角公式及重要极限，得
　　　　
　　如果同学们记得常见的几组等价无穷小，并没忘记在求极限时，对于无穷小因式，可以进行等价无穷小代换的话，那么此题还可更简单．
　　解　方法2　∵当时，～，
　　 ∴ 　
　　也可以这样：∵当时，～，
　　 ∴ 　
　　其中方法一是基本方法，必须掌握．

　　例4.2.3　求．　　提示>>
    解   =
      =
　　思考：下面的做法对不对，为什么？
　　原式==

　　例4.2.4　求极限．　　提示>>
    解   =
      =
     

　　例4.2.5　计算极限，其中m,n均为正数．　　提示>>
    解   原式 =
     
      (注：时，～)
(1)若使用洛比达法则后，仍为或型未定式，则可再次运用此法则，直至不是未定式为止．要求：必须先判断极限的类型是否为或型．
(2)可将洛比达法则和其它求极限的方法结合起来，并注意化简，常能使运算更简便．例如刚才几个例子中，有的可用等价无穷小代换，有的可运用重要极限．

　　例4.2.6　计算极限()．　　提示>>
    解  
     

　　教材上还给出了一个型的极限：．
当时，指数函数、幂函数、对数函数均趋于无穷大，即它们均为无穷大量，但它们趋于无穷大的速度是不一致的，指数函数最快，对数函数最慢，幂函数居中．

三、其它未定式的极限


　　其它未定式：，，，，型．
　　思路：首先变形转化为或型，再考虑用洛比达法则．
　　转化方式简记如下：
　　(1)或
　　(2)首先设法“合二为一”，再观察类型．
　　(3)，，这三种类型是幂指函数类型的未定式，运用公式，可得：，而指数部分为型．

　　典型例题

　　例4.2.7　求(>0)　　提示>>
    解   () =()
      =
     

　　例4.2.8 计算极限　　提示>>
    解   ()
     
      ()
     
      =

　　例4.2.9 计算极限　　提示>>
　　解　 ＝，而是型．

　　注意到时，～，此题中无穷小因式可用其等价无穷小代换．
    所以   ()
      ()
     
     
　　所以，原式=．