前言本节介绍不定积分的换元法.换元法通常分成两类:第一类换元法和第二类换元法. |
一、第一类换元法(凑微分法)
![]() ![]() ![]() 举一个公式为例.因为 ![]() ![]() ![]() |
例:若 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 又如,若 ![]() ![]() 注意到 ![]() ![]() ![]() 这就是第一类换元积分法,也就是所谓的凑微分法. |
典型例题 例5.2.1 求 ![]() ![]() 例5.2.2 求 ![]() 分析 因为 ![]() ![]() 解 ![]() ![]() 例5.2.3 求 ![]() 解 ![]() ![]() ![]() |
例5.2.4 求下列不定积分 (1) ![]() ![]() ![]() ![]() 解 (1) ![]() = ![]() (2) ![]() ![]() ![]() ![]() (3) ![]() ![]() = ![]() = ![]() (4) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
课堂练习1 求下列不定积分: (1) ![]() (2) ![]() (3) ![]() (4) ![]() (5) ![]()
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常用的凑微分公式
例5.2.5 求不定积分 ![]() 解 ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() = ![]() = ![]() 例5.2.6 求 ![]() 解 ![]() ![]() ![]() 例5.2.7 设 ![]() ![]() ![]() 解 由题设, ![]() ![]() ![]() 于是, ![]() ![]() ![]() ![]() |
例5.2.8 求下列不定积分:(本例结果作为公式记忆) (1) ![]() (2) ![]() (3) ![]() (4) ![]()
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补充公式(9个)
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二、第一类换元法(凑微分法)(续)首先请同学们默记下列常用的凑微分公式: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
典型例题 例5.2.9 设 ![]() ![]() 解 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 例5.2.10 求下列不定积分 (1) ![]() (2) ![]() (3) ![]() (4) ![]() 解 (1) ![]() ![]() ![]() ![]() (2) ![]() ![]() ![]() ![]() (3) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() (4) ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() 方法2 ![]() ![]() 可以推出: ![]() ![]() ![]() ![]() |
例5.2.11 求下列不定积分 (1) ![]() (2) ![]() 解 (1) ![]() ![]() ![]() (2) ![]() ![]() ![]() |
例5.2.12 求不定积分 ![]() 解 ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() = ![]() = ![]() 类似地可以得到公式: ![]() ![]() |
例5.2.13 求下列不定积分 (1) ![]() ![]() ![]() ![]() 解: (1)前面有道例题是 ![]() ![]() ![]() = ![]() = ![]() = ![]() (2) ![]() ![]() = ![]() = ![]() ![]() = ![]() (3) ![]() ![]() = ![]() ![]() = ![]() = ![]() (4) ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() = ![]() |
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例5.2.14 计算下列积分: (1) ![]() ![]() ![]() 解: (1) ![]() = ![]() = ![]() = ![]() (2) ![]() ![]() = ![]() = ![]() = ![]() = ![]() = ![]() (3) ![]() ![]() ![]() = ![]() = ![]() = ![]() = ![]() 方法2 ![]() ![]() ![]() = ![]() = ![]() |
例5.2.15 求 ![]() 解 ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() = ![]()
例5.2.16 求不定积分 ![]() 解 ![]() ![]() ![]() ![]()
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三、第二类换元法
说明: (1) 第二换元法主要用于去掉被积函数中的根号; (2) 被积函数含有根号时,可考虑用第二换元法,但有时并非必用不可. (3) 被积函数不含根号时,有时也可用第二换元法,作变量代换,引入新变量来简化运算. |
典型例题 例5.2.17 求下列不定积分: (1) ![]() ![]() 解 (1) 令 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() = ![]() = ![]() = ![]() (2) 令 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() = ![]() ![]() = ![]() = ![]()
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例5.2.18 求 ![]() 分析 如果令 ![]() ![]() ![]() ![]() 解 利用三角恒等式 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 于是 ![]() ![]() ![]() = ![]() = ![]() = ![]() = ![]() ![]() = ![]() 由于 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 于是 ![]() ![]() = ![]() 注:" ![]() 后面的例5.2.19和例5.2.20中,求不定积分 ![]() ![]() |
例5.2.19 求 ![]() 解 利用三角恒等式 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 于是 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 于是 ![]() ![]() = ![]() ![]() 其中 ![]() 例5.2.20 求 ![]() 解 利用三角恒等式 ![]() ![]() 令 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 于是 ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 于是 ![]() ![]() = ![]() 其中 ![]()
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例5.2.21 求下列积分: (1) ![]() ![]() ![]() ![]() 解 (1) ![]() ![]() ![]() (2) ![]() ![]() ![]() = ![]() (3) ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() = ![]() (4) ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() = ![]() |
例5.2.22 求解不定积分 ![]() 解 方法1 ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() 方法2 ![]() ![]() 方法3 令 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() = ![]() ![]() |
例5.2.23 计算下列不定积分: (1) ![]() (2) ![]() 解 (1) 令 ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() = ![]() = ![]() = ![]() ![]() = ![]() (2) 令 ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() = ![]() = ![]() = ![]() 本例中所用的方法称为倒代换. |
请认真答题,测试一下你对前面知识点的学习情况!
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【答案】A
【解析】
【知识点】第一类换元法