5.2 不定积分的换元法

前言


　　本节介绍不定积分的换元法．换元法通常分成两类：第一类换元法和第二类换元法．

一、第一类换元法（凑微分法）


　　定义：设，则对于函数，也成立．这称为积分形式不变性．
　　由此，可将不定积分转换为的形式，即的形式，再求解．
　　举一个公式为例．因为，所以
，
　　其中可以是自变量也可以是某一个函数．

　　例：若 ，则有
，
　　注意到，所以上式为

　　又如，若，则有，
　　注意到，所以上式为
．
　　如果将上述过程逆推回去，则有：

　　这就是第一类换元积分法，也就是所谓的凑微分法．

　　典型例题
　　例5.2.1　求．
　　
　　例5.2.2　求．
　　分析　因为，所以被积表达式可以变形为．
　　解　
　　　　　　　　 ．

　　例5.2.3　求
　　解　
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　．

　　例5.2.4　求下列不定积分
　　（1）；　　（2）；　　　（3）；　　　（4）．
　　解　（1）
　　　　　　　　　＝．
　　　　（2）＝
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　 ．
　　　　（3）＝
　　　　　　　　　　　＝
　　　　　　　　　　　＝．
　　　（4）
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　 ．

　　课堂练习1
　　求下列不定积分：
　　（1）．
　　（2）．
　　（3）．
　　（4）．
　　（5）．
　　      
解：
　　（1） ．（运用公式）
　　（2） ．（运用公式）
　　（3）．（运用公式）
　　（4） ．（运用公式）
　　（5） ．（运用公式）

　　常用的凑微分公式
               
 
 
 
 
   

　　例5.2.5 求不定积分．
　　解　= …………………………（）
　　　　　　　　　=
　　　　　　　　　=
　　　　　　　　　=．

　　例5.2.6　求．
　　解　…………………………（）
　　　　　　　　　　　

　　例5.2.7　设为函数的一个原函数，求．
　　解　由题设，为函数的一个原函数，所以，
　　　　于是， …………………………（）
　　　　　　　　　　　　　　

　　例5.2.8　求下列不定积分：（本例结果作为公式记忆）
　　（1）
　　（2）
　　（3）
　　（4）

　　解：（1）（运用基本公式）
　　用类似方法，可求得：．
　　（2）
　　　　　　　 ． （运用基本公式）
　　　当其中的时，就是基本积分公式．
　　（3）
　　　　　　　　
　　　　　　　　                 （运用基本公式）
　　　　　　　　 ．
　　　当其中的时，就是基本积分公式．
　　（4）
　　　　　　　　
　　故
　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　         （运用公式）
　　　　　　　　．　　　　　　　（运用中学所学公式：）

　　补充公式（9个）
　　（15） ，
　　（16） ，
　　（17） =．
　　（18） =
　　（19） ，
　　（20） ，
　　（21）
　　（22） =
　　（23） =


二、第一类换元法（凑微分法）（续）


　　首先请同学们默记下列常用的凑微分公式：
　　，　，　，　
　　，　，　，　，
　　，　，　，
　　．

　　典型例题
　　例5.2.9　设，求．
　　解　 　　　　　　　　　　（）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（）
　　　　　　　　　　　．
　　例5.2.10　求下列不定积分
　　（1），
　　（2），
　　（3），
　　（4）．
　　解
　　（1）==．　　　　　
　　（2）==．　　　　
　　（3）=
　　　　　　　　 =．　　　（）
　　（4）===
　　　　　　　=．
　　　　方法2　
　　　　　　　　　　　　．
　　　　可以推出：
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　

　　例5.2.11　求下列不定积分
　　（1），
　　（2）
　　解
　　（1）
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　．
　　（2）
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　．

　　例5.2.12　求不定积分
　　解　==
　　　　　　　　　==
　　　　　　　　　=
　　　　　　　　　=．（公式）
　　类似地可以得到公式：
=．

　　例5.2.13　求下列不定积分
　　（1）；    （2）；   （3）；  （4）．
　　解：
　　（1）前面有道例题是，我们是怎么做的呢？回忆一下．类似地凑微分．
　　　=
　　　　　　　　=
　　　　　　　　=
　　　　　　　　=．
　　（2）=
　　　　　　　　　=
　　　　　　　　　=                （  ）
　　　　　　　　　=．
　　 （3）=
　　　　　　　　　=                     （  ）
　　　　　　　　　=
　　　　　　　　　=．
　　 （4）=  　（=）
　　　　　　　　　　　　=
　　　　　　　　　　　　=．

一般地，计算时，可以用下列方法：

（1）当中有一个为奇数时，分离一个（或）出来凑微分：（或），再将被积表达式的其余部分表达为（或）的函数，从而转化为或的多项式的积分来计算．

（2）当均为偶数时，可以利用半角公式
=，　　=
降次化简后再计算．

计算、、，若时，可运用三角函数的积化和差公式：
=；
；
=，
再分项积分．

　　例5.2.14　计算下列积分：
　　（1），      （2），      （3）．
　　解：
　　（1）
　　　　　　　　　=
　　　　　　　　　=
　　　　　　　　　=．
　　（2）=
　　　　　　　　　　=
　　　　　　　　　　=
　　　　　　　　　　=
　　　　　　　　　　=
　　　　　　　　　　=．
　　（3）==
　　　　　　　　　=
　　　　　　　　 =
　　　　　　　　 =
　　　　　　　　 =．
　　方法2　=＝
                　　=
                　　=．

　　例5.2.15　求
　　解　=
　　　　　　　　　==
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　=．
当被积函数为有理假分式时，先将其转化为多项式与真分式的代数和．

　　例5.2.16　求不定积分
　　解　
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　
若分子恰是分母的导数，则．


三、第二类换元法


　　定义：不定积分的积分变量是，作变量代换，得到，这是积分变量为的不定积分，解此不定积分，在结果中回代原变量，这就是不定积分的第二换元积分法．
　　注意：第二换元法引入了新的变量进行积分，其积分结果中必须回代原变量．
　　说明：
　　（1）　第二换元法主要用于去掉被积函数中的根号；
　　（2）　被积函数含有根号时，可考虑用第二换元法，但有时并非必用不可．
　　（3）　被积函数不含根号时，有时也可用第二换元法，作变量代换，引入新变量来简化运算．

　　典型例题
　　例5.2.17　求下列不定积分：
　　（1），         （2）．
　　解　（1）　令，则，，于是
　　　　　　　=
                 　　　=
                 　　　=
　　　　　　　　　　　　= 
　　　　　　　　　　　　=．
　　　　（2）　令，则，且，于是
　　　　　　　=
　　　　　　　　　　　　　=
             　   　　　＝=
           　     　　　=
           　     　　　=．
一般地，被积函数含有根式（根号内为一次函数）时，可作变量代换．


　　例5.2.18　求．
　　分析　如果令，则，，代入原不定积分，得，根号没去掉．
　　解　利用三角恒等式
，
　　　　令，则
　　　==，，
　　于是　　==
               　　　　=
　　　　　　　　　　　　＝
               　　　　=
               　　　　=　　（）
             　　　　　=．
　　由于，所以
　　　　　　，　，　===，
　　于是
　　　　　　=
　　　　　　　　　　　　＝．
　　注：＂＂也可省略不写，默认取第一象限的角即可．
　　后面的例5.2.19和例5.2.20中，求不定积分和，请同学们自己先思考：通过什么样的变量代换能够去掉根号？试做一遍，再看答案．

　　例5.2.19　求．
　　解　利用三角恒等式
，
　　令，则
　　　　　　　==，　．
　　于是
　　　　　　　===．
　　作右图所示的直角三角形，辅助分析，可得：
　　　　　　　=，，
　　于是
　　　　　　　=
　　　　　　　　　　　　＝=，
　　其中．

　　例5.2.20　求．
　　解　利用三角恒等式
　　　　　　　　　　　　　=，
　　令，则
　　　　　　　===，　，
　　于是
           　 ==
                      　=．
　　作右图所示的直角三角形，辅助分析，可得：
　　　　　　　=，，
　　于是
      　　　 =
               　　　　=，
　　其中．
一般地，被积函数含有根式且根式内是二次函数时，可作三角换元．例如、和分别可作代换、和消去根式．用三角换元求出原函数后，利用辅助直角三角形来回代原变量比较方便．


　　例5.2.21　求下列积分：
　　（1），　（2），　　　（3），　　　（4）．
　　解　（1）＝　　（）
　　　　（2）=　　　　　　　　（）
　　　　　　　　　　=．
　　　　（3）=＝ 
　　　　　　　　　　　　　=　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　=　　　（公式=）
　　　　　　　　　　　　　=．
　　　　（4）=
　　　　　　　　　　　　=　　（公式=）
　　　　　　　　　　　　=．

　　例5.2.22　求解不定积分．
　　解
　　方法1　===
　　　　　　　　　　=．
　　方法2　
　　　　　　　　　　．
　　方法3　令，则，，于是
　　　　　　＝
　　　　　　　　　　＝
　　　　　　　　　　＝＝

　　例5.2.23　计算下列不定积分：
　　（1）
　　（2）
　　解
　　（1）　令，则，于是
              =
                        =
                        =
                        =
                        ==
                        =．
　　（2）　令，则，于是
                 =
                            =
                            =
                            =
                            =．
　　本例中所用的方法称为倒代换．