一、定积分的概念曲边梯形的面积 设在区间上非负、连续.由直线,(轴)及曲线所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边. 在区间内任意插入若干个分点,将分为若干个小区间.然后过每个分点作轴的平行线,将曲边梯形分割为若干个窄曲边梯形. 由于这些小区间很小,曲线在小区间上的变化不是很大,所以可以把每一个窄曲边梯形近似地看成是一个窄的矩形.窄矩形的底就是小区间,取小区间上任意的一点,以该点处的高作为窄矩形的高.以窄矩形的面积近似代替窄曲边梯形的面积. 每个窄曲边梯形的面积都用相应的窄矩形的面积来近似代替,将所有这些窄矩形的面积相加,便得到了整个曲边梯形面积的近似值.通过右图动画直观地来分析一下. 显然,按照刚才的方法,在区间[a,b]上插入的分点越多,所得到的小矩形也越多,用所有小矩形面积之和来近似表示曲边梯形的面积,所产生的误差也越小,即,对区间的分割越细,小矩形面积之和也就越接近于曲边梯形的面积. 将无限细分,即使每个小区间的长度趋于零,通过这样一个极限过程,就得到了曲边梯形的面积的精确值. |
将上面的分析过程用数学的语言描述如下. (1) 分割:在内任取个分点 , 把分割成个小区间,第个小区间的长度为 . 过每一分点作平行于轴的直线,将曲边梯形分为个窄曲边梯形. (2) 取部分量的近似值:在每个小区间上任取一点,作以为高,为底的窄矩形,窄矩形的面积为 ,则第个小曲边梯形的面积 (4) 取极限(无限分细)得总量的精确值:设 (小区间长度的最大值),则 这是一个特殊的和式的极限. |
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二、定积分的几何意义(1) 当时,曲边梯形在轴的上方(如图所示),定积分表示曲边梯形的面积,即 . (3) 当在上有正、有负时,则由,直线以及轴所围的图形,部分位于轴上方,部分位于轴下方(如图所示).表示的是上、下图形面积的代数和:轴上方图形的面积之和-轴下方图形的面积之和.例如出现下图所示的情况时,则有=. |