5.5 定积分的概念及其几何意义

一、定积分的概念


　　曲边梯形的面积
　设在区间上非负、连续．由直线，（轴）及曲线所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边．
　　在区间内任意插入若干个分点，将分为若干个小区间．然后过每个分点作轴的平行线，将曲边梯形分割为若干个窄曲边梯形．
　　由于这些小区间很小，曲线在小区间上的变化不是很大，所以可以把每一个窄曲边梯形近似地看成是一个窄的矩形．窄矩形的底就是小区间，取小区间上任意的一点，以该点处的高作为窄矩形的高．以窄矩形的面积近似代替窄曲边梯形的面积．
　　每个窄曲边梯形的面积都用相应的窄矩形的面积来近似代替，将所有这些窄矩形的面积相加，便得到了整个曲边梯形面积的近似值．通过右图动画直观地来分析一下． 　　显然，按照刚才的方法，在区间[a,b]上插入的分点越多，所得到的小矩形也越多，用所有小矩形面积之和来近似表示曲边梯形的面积，所产生的误差也越小，即，对区间的分割越细，小矩形面积之和也就越接近于曲边梯形的面积．
　　将无限细分，即使每个小区间的长度趋于零，通过这样一个极限过程，就得到了曲边梯形的面积的精确值．

　　将上面的分析过程用数学的语言描述如下．
　　（1）　分割：在内任取个分点
　　　　　　　　　　　　　　，
　　把分割成个小区间，第个小区间的长度为
　　　　　　　　　　　　　　．
　　过每一分点作平行于轴的直线，将曲边梯形分为个窄曲边梯形．

　　（2）　取部分量的近似值：在每个小区间上任取一点，作以为高，为底的窄矩形，窄矩形的面积为 ，则第个小曲边梯形的面积
　　　　　　　　　　　　　　 
　　（3）　求和得总量的近似值：将个小曲边梯形面积的近似值相加得曲边梯形面积的近似值
　　　　　　　　　　　　　　  
　　（4）　取极限（无限分细）得总量的精确值：设
　　　　　　　　　　　　　　 （小区间长度的最大值），则
　　　　　　　　　　　　　　
　　这是一个特殊的和式的极限．

　　定义：定积分就是上述类型的和式的极限，记为，即
　　其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间．
　　根据定义，引例中的曲边梯形的面积
　　其中曲边梯形是由曲线 和直线 以及 轴 所围成的．

二、定积分的几何意义


　　（1）　当时，曲边梯形在轴的上方（如图所示），定积分表示曲边梯形的面积，即　．
　　（2）　当时，曲边梯形在轴的下方（如图所示），定积分表示曲边梯形的面积的负值，即．

　　（3）　当在上有正、有负时，则由，直线以及轴所围的图形，部分位于轴上方，部分位于轴下方（如图所示）．表示的是上、下图形面积的代数和：轴上方图形的面积之和－轴下方图形的面积之和．例如出现下图所示的情况时，则有＝．


　　课堂练习：根据定积分的几何意义，试求
　　（1） 定积分；
　　提示：在几何上表示由直线以及轴所围图形面积的代数和．请画出图形，再根据图形分析．
　　（2） ，并分析和之间的关系．
　　提示：在几何上表示曲线，直线 ，以及轴所围图形面积的代数和．请画出图形，再根据图形分析．
　　      
　　解：
　　（1）在几何上表示直线以及轴所围图形面积的代数和．由于是奇函数，其图形对称于原点，所以所围图形如下图所示，在轴上方的三角形面积与在轴下方的三角形面积完全一致，从而
．
　　（2）在几何上表示曲线，直线，以及轴所围图形面积的代数和．
　　因为是单位圆在轴上方的部分，所以，；又由对称性，．
　　 可以证明：在对称区间上，若是奇函数，则，若是偶函数，则．