5.5 定积分的概念及其几何意义

一、定积分的概念


  曲边梯形的面积
 设在区间上非负、连续.由直线轴)及曲线所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.
  在区间内任意插入若干个分点,将分为若干个小区间.然后过每个分点作轴的平行线,将曲边梯形分割为若干个窄曲边梯形.
  由于这些小区间很小,曲线在小区间上的变化不是很大,所以可以把每一个窄曲边梯形近似地看成是一个窄的矩形.窄矩形的底就是小区间,取小区间上任意的一点,以该点处的高作为窄矩形的高.以窄矩形的面积近似代替窄曲边梯形的面积.
  每个窄曲边梯形的面积都用相应的窄矩形的面积来近似代替,将所有这些窄矩形的面积相加,便得到了整个曲边梯形面积的近似值.通过右图动画直观地来分析一下.   显然,按照刚才的方法,在区间[a,b]上插入的分点越多,所得到的小矩形也越多,用所有小矩形面积之和来近似表示曲边梯形的面积,所产生的误差也越小,即,对区间的分割越细,小矩形面积之和也就越接近于曲边梯形的面积.
  将无限细分,即使每个小区间的长度趋于零,通过这样一个极限过程,就得到了曲边梯形的面积的精确值.

  将上面的分析过程用数学的语言描述如下.
  (1) 分割:在内任取个分点
              
  把分割成个小区间,第个小区间的长度为
              
  过每一分点作平行于轴的直线,将曲边梯形分为个窄曲边梯形.

  (2) 取部分量的近似值:在每个小区间上任取一点,作以为高,为底的窄矩形,窄矩形的面积为 ,则第个小曲边梯形的面积
               
  (3) 求和得总量的近似值:将个小曲边梯形面积的近似值相加得曲边梯形面积的近似值
                
  (4) 取极限(无限分细)得总量的精确值:设
               (小区间长度的最大值),则
              
  这是一个特殊的和式的极限.

  定义:定积分就是上述类型的和式的极限,记为,即
  其中叫做被积函数,叫做被积表达式,叫做积分变量,叫做积分下限,叫做积分上限,叫做积分区间.
  根据定义,引例中的曲边梯形的面积
  其中曲边梯形是由曲线 和直线 以及 所围成的.

二、定积分的几何意义


  (1) 当时,曲边梯形在轴的上方(如图所示),定积分表示曲边梯形的面积,即 
  (2) 当时,曲边梯形在轴的下方(如图所示),定积分表示曲边梯形的面积的负值,即

  (3) 当上有正、有负时,则由,直线以及轴所围的图形,部分位于轴上方,部分位于轴下方(如图所示).表示的是上、下图形面积的代数和:轴上方图形的面积之和-轴下方图形的面积之和.例如出现下图所示的情况时,则有


  课堂练习:根据定积分的几何意义,试求
  (1) 定积分
  提示:在几何上表示由直线以及轴所围图形面积的代数和.请画出图形,再根据图形分析.
  (2) ,并分析之间的关系.
  提示:在几何上表示曲线,直线 ,以及轴所围图形面积的代数和.请画出图形,再根据图形分析.
        
  解:
  
(1)在几何上表示直线以及轴所围图形面积的代数和.由于是奇函数,其图形对称于原点,所以所围图形如下图所示,在轴上方的三角形面积与在轴下方的三角形面积完全一致,从而

  (2)在几何上表示曲线,直线以及轴所围图形面积的代数和.
  因为是单位圆轴上方的部分,所以,;又由对称性,
   可以证明:在对称区间上,若是奇函数,则,若是偶函数,则