5.6 定积分的基本性质

复习

　　当时，曲边梯形在轴的上方（如上图所示），定积分表示曲边梯形的面积，即．
　　为了以后计算及应用方便，我们对定积分作以下两点补充规定：
　　补充规定：
　　1、时，；
　　2、．（交换定积分的上下限，积分值变号）

定积分的性质


　　性质1　．
　　性质2　（为常数）
　　性质3　
　　这条性质也叫定积分对于积分区间具有可加性．
　　 不一定在和之间．
　　性质4　若在积分区间 上，被积函数，则．
　　从几何上看，时的曲边梯形是一个如下图所示的高为1的矩形，其面积就是底边的长．

　　性质5　若在区间 上，则．
　　从几何上看，当时，曲边梯形在轴的上方（如下图所示），定积分表示曲边梯形的面积，所以
．
　　推论1　若在 上，，则．
　　从几何上看，如下图所示，曲顶高的曲边梯形的面积大．
　　推论2　．

　　性质6（定积分的估值定理）：设在 上有最大值和最小值，即，则
　　证明　设在上的最大值为，最小值为，则，由性质5的推论1可知
　　而　　　　　　　　　　　　　， ，
　　∴　 ．
　　性质7（定积分中值定理）：若在上连续，则至少存在一点，使得
，
　　这个式子也可写为．称为函数在上的平均值．

　　典型例题
　　例5.6.1　设函数
　　试计算定积分．
　　解　由性质3，定积分对于积分区间具有可加性
　　　　∴
　　　　　　　　　　
　　由定积分的几何意义知，是单位圆面积位于第二象限的部分（由单位圆及轴、轴共同围成，位于第二象限），所以，是单位圆面积的，即
．
　　同理，是由直线、（轴）、及轴共同围成的三角形的面积（如图所示）．
　　于是，．
　　故
　　 ＝．

　　例5.6.2　试比较下列定积分的大小：
　　（1）　与；
　　（2）　与；
　　解：
　　（1）　因为在定义域内是单调增加的，所以当时，，而，，故，于是，并且．故由性质5的推论知
．
　　（2）　因为在定义域内是单调增加的，所以当时，，而，，故，于是，并且．故由性质5的推论知
＜．

　　例5.6.3　试估计下列定积分的值：
　　（1）　
　　（2）　的值．
　　解：
　　（1）∵在区间上，
　　　　∴ 在区间上单调增加，从而在处取得最小值，在处取得最大值，根据估值定理，就有
　　即
．
　　（2）因为在区间上，函数的最大值为，最小值为．故由估值定理知
　　即
．