5.7 定积分的基本公式(牛顿－莱布尼兹公式)

一、定积分的基本公式（牛顿－莱布尼兹公式）


　　定理：设在区间上，是连续函数的一个原函数，则
．
　　此公式称为牛顿－莱布尼兹公式．为了便于使用上述公式，记
，或，
　　则
＝，或＝．

　　典型例题
　　例5.7.1　求定积分．
　　解　因为是的一个原函数，所以由牛顿－莱布尼茨公式有
．
　　例5.7.2　求定积分．
　　解　因为
　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　．
　　　　所以
　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　．（公式：）

　　例5.7.3　求．
　　解　
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　．

　　课堂练习1
　　填空
　　（1）
　　（2）
　　比较（1）（2）两题的结果，你觉得能得出什么结论呢？
　　（3）
　　（4）
　　（5）
　　（6）
　　（7）
　　      
解：
　　（1） 因为，所以填．　　
　　（2） 因为，所以填．
　　　（1）和（2）完全一致，说明定积分的值只与积分区间及被积函数有关，而与积分变量无关．将积分变量再变一变，例如变成，仍有，定积分的值不变．
　　（3） 因为，所以填1．
　　（4） 因为，所以填．
　　（5） 因为，所以填．
　　（6） 因为，所以填1．
　　（7） 因为
　　　　　　　　　　　　，所以填．

　　典型例题
　　例5.7.4　求．
　　解　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　的形式
　　　　　　　　　　 ．

　　例5.7.5　（1）　求 ，其中
　    　　　　（2）　求．
　　解：
　　（1）被积函数是分段函数，是一个分段点，在的两侧表达式不同，所以需要分段计算，即利用定积分对区间的可加性．
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　．
　　（2）这里被积函数中出现了绝对值，首先需化去被积函数的绝对值．与
　　　　　　　　　　
　　同理，可得：
　　　　　　　　　　
　　即
　　　　　　　　　　
　　可见，被积函数也是分段函数，分段点就是使它的值为零的点．
　　于是
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　．

二、变上限的定积分


　　变上限的定积分：．
　　说明：
　　（1）　变上限的定积分是关于上限的一个函数，可记为．
　　例如，，可见，这是关于的一个函数．
　　（2）　变上限的定积分对上限求导，其结果为，即．
　　例如，．
　　可见，当积分上限是时，变上限的定积分对上限变量求导，其结果相当于将被积函数中的变量换成上限变量．
　　（3）　当积分上限是的函数时，可视为复合函数：是上限的函数，而又是的函数．利用复合函数的求导法则，对变量求导，即得：
　　　　　
　　　　　　　　　　　　＝
　　（4）　因为定积分的值与积分变量无关，所以也常写为．

　　典型例题
　　例5.7.6　计算下列函数的导数：
　　（1）　；
　　（2）　；
　　（3）　．
　　解:
　　（1） ；
　　（2） ＝；
　　（3） ，于是
　　　　
　　　　　　　　　　．

　　例5.7.7　计算极限．
　　解　
　　　　　　　　　　　　　　．

　　例5.7.8　求函数的极值．
　　解　，令得唯一驻点．
　　　　当时，，当时，，所以为极小值点，极小值为．
　　　　（或者由，，得出结论：为极小值点，极小值为）