5.9 无穷限反常积分

前言


  前面介绍的定积分有两个最基本的约束条件: 积分区间的有限性 ,突破这两个约束,就产生了
被积函数的有界性
反常积分(广义积分).
  反常积分(广义积分)有两种类型: 积分区间为无穷区间
被积函数在积分区间上无界

无穷限反常积分


  无穷限反常积分是指积分区间为无穷区间的积分.
  定义:函数在无穷区间上的无穷限反常积分(简称无穷限积分)
),
  如果极限存在,即等于一个常数,则称无穷限积分收敛,否则称为发散.
  类似可定义函数在无穷区间上的无穷限积分:
),
  如果极限存在,即等于一个常数,则称无穷限积分收敛,否则称为发散.
  函数在无穷区间上的无穷限积分:
  其中为任一实数.如果右边两个无穷限积分同时收敛,则称收敛,否则称为发散.

  典型例题
  例5.9.1 讨论无穷限反常积分的敛散性.
   ∵
     
           
    ∴收敛,且其值为
  设的一个原函数,则无穷限反常积分也可简记为


  其中的意义为
  采用上述记号,例5.9.1的解题步骤可简写为
                    
                          =
                          =

  例5.9.2 计算无穷限反常积分
   
          
                    
         =
         =1

  课堂练习
  计算下列无穷限反常积分,并说明其敛散性.
  (1)
  (2)
  (3)
  (4) 
  (5)
        
解:
  (1) ∵ ,∴收敛.
  (2) ∵ ,∴发散.
  :也可以将教材上对p积分的讨论结果作为公式记住,第(1)题就是的情形,第(2)题就是的情形.
  (3) ∵ ,∴收敛.
  (4) 
           ,∴收敛.
  (5) 
           
           
           
           
    ∴收敛.

  例5.9.3 计算无穷限积分
   
  ∵,∴发散,从而无穷限积分发散.