5.9 无穷限反常积分
前言
前面介绍的定积分有两个最基本的约束条件:
积分区间的有限性
,突破这两个约束,就产生了
被积函数的有界性
反常积分(
广义积分
).
反常积分(广义积分)有两种类型:
积分区间为无穷区间
被积函数在积分区间上无界
无穷限反常积分
无穷限反常积分是指积分区间为无穷区间的积分.
定义:
函数
在无穷区间
上的无穷限反常积分(简称无穷限积分)
=
(
),
如果极限
存在,即
等于一个常数,则称无穷限积分
收敛,否则称为发散.
类似可定义函数
在无穷区间
上的无穷限积分:
(
),
如果极限
存在,即
等于一个常数,则称无穷限积分
收敛,否则称为发散.
函数
在无穷区间
上的无穷限积分:
,
其中
为任一实数.如果右边两个无穷限积分同时收敛,则称
收敛,否则称为发散.
典型例题
例5.9.1
讨论无穷限反常积分
的敛散性.
解
∵
,
.
∴
收敛,且其值为
.
设
是
的一个原函数,则无穷限反常积分也可简记为
,
,
.
其中
和
的意义为
,
采用上述记号,例5.9.1的解题步骤可简写为
=
=
.
例5.9.2
计算无穷限反常积分
.
解
=
=1
课堂练习
计算下列无穷限反常积分,并说明其敛散性.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
解:
(1) ∵
,∴
收敛.
(2) ∵
,∴
发散.
:也可以将教材上对p积分的讨论结果作为公式记住,第(1)题就是
的情形,第(2)题就是
的情形.
(3) ∵
,∴
收敛.
(4)
=
,∴
收敛.
(5)
,
∴
收敛.
例5.9.3
计算无穷限积分
.
解
,
∵
,∴
发散,从而无穷限积分
发散.