5.10 定积分的应用

一、微元法


　　复习：
　　设曲边梯形如图所示，则此曲边梯形的面积．

　　第一步：取面积元素．如图所示，取内的一个小区间，过与作轴的平行线，分割出一个窄曲边梯形，其左端点是，右端点是．
　　接着，作一个与窄曲边梯形同底的窄矩形．
　　窄矩形的底边长为，高为，于是窄矩形的面积是，它是窄曲边梯形面积（部分量）的近似值，称其为面积的面积元素，记为，即
．

　　第二步：对面积元素在区间上积分，得区间上的曲边梯形的面积为
．
　　这样的两步法，就是所谓的微元法．
　　简单地说，微元法就是在求区间上的某一个总量时，选取任意小的代表区间 ，求出这个小区间上的部分量的一个近似值，称为的元素（微元），则所求的总量．

二、求平面图形的面积


　　1、如图所示，设平面图形由曲线，，直线和所围成．

　　如动画所示，曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形的面积为
，
　　曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形的面积为
，
　　于是由曲线，，直线和所围成的图形的面积为
　　即
　　　(1)
　　简记为：上方曲线-下方曲线，对积分．
　　注意：需将被积函数表示为的函数．

　　也可用微元法分析，如图：　　窄矩形的底边长为，处两条曲线的纵坐标之差就是窄矩形的高，所以面积元素为：，故面积．
特别地：
　　(1)　平面图形如图所示，由曲线（，非负，在轴上方），直线，，轴所围成．
　　公式为

　　(2)　平面图形如图所示，由曲线（），直线，，轴所围成．
　　公式成为

　　2、设平面图形由、、直线和所围成．
　　用微元法可以分析出：面积微元
　　面积
　　简记为：右方曲线减去左方曲线，对积分．
　　注意：需将被积函数表示为的函数．

　　典型例题
　　例5.10.1　求由抛物线与所围图形的面积．
　　解
　　联立或，交点为和．
　　　　
　　　　　
　　或者，也可选取为积分变量，
．

　　例5.10.2　求由曲线与直线围成的封闭平面图形的面积．
　　解　是一个顶点在，开口向上的抛物线．
　　联立方程，求得交点为，，于是所求图形的面积为
　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　

　　课堂练习 1
　　求下列平面图形的面积：
　　(1)　抛物线与直线（轴）所围图形．
　　（提示：作图时将抛物线向下平移一个单位即得．）
　　(2)　双曲线，直线，及所围图形．
　　(3)　抛物线与直线所围图形．
　　（提示：注意积分变量的选择．）
　　      
解：
　　(1)　所围图形如图所示
　　所求的面积为
　　(2)　所围图形如图所示

　　所求的面积为
　　思考：如果此题中去掉，改为由双曲线，直线，所围图形，那么所围图形是怎样的，其面积又应怎样计算？
　　(3)　联立 交点：，所围图形如图所示
　　方法1　取为积分变量，所求面积为
　　方法2　取为积分变量，所求面积为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　可见，此题选择为积分变量更为简便．

　　例5.10.3　求椭圆所围图形的面积．
　　解　由对称性，椭圆面积是其在第一象限部分的面积的4倍．因此，椭圆面积
　　，＝
　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　  　　　  　　　  　　  　　　  　　
　　　　　　　　　 ＝
　　　　　　　　 　
　　　　　　　　 　

三、求旋转体的体积


　　旋转体就是一个平面图形绕其平面内的一条直线旋转一周而成的立体．
　　请想象：下列图形绕竖轴旋转后会成为什么样的立体？
　　(1)　如图所示的矩形．
　　(2)　如图所示的三角形．
　　(3)　如图所示的直角梯形．
　　三个立体分别是圆柱、圆锥、圆台．

　　用微元法来导出求旋转体体积的公式．
　　1、求连续曲线，直线 及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所成立体的体积．
　　首先取体积微元．
　　（见同济大学《高等数学》第四版，P.344图6－9）
　　如图所示，在区间内任取一子区间，该子区间上的旋转体部分可近似看成是薄圆柱．薄圆柱的底面半径为，从而底面积为：，薄圆柱的高是．
　　体积微元（元素）：，
　　旋转体的体积：．
　　注意：平面图形绕轴旋转，取积分变量为，被积函数需表示为的函数．

　　2、求连续曲线，直线, 及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所成立体的体积．
    体积元素：，
　　旋转体的体积：．
　　注意：平面图形绕轴旋转，取积分变量为，被积函数需表示为的函数．

　　典型例题
    例5.10.4　直线，以及轴围成的直角三角形绕轴旋转一周构成一个圆锥体，计算这圆锥体的体积．
　　解　直线，以及轴所围成的直角三角形如图a所示：
　　此直角三角形绕轴旋转一周所成立体如图b所示：
　　（见同济大学《高等数学》第四版，P.345图6－10）
　　体积元素为
，
　　所求圆锥体的体积为
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　

　　例5.10.5　计算由椭圆所围图形绕轴旋转一周而成的旋转体（叫做旋转椭球体）的体积．
　　解　这个旋转椭球体也可以看作是由上半椭圆
　　和轴围成的图形绕轴旋转而成的旋转体．
　　体积元素为
＝
　　所求体积为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　课堂练习 2
　　例5.10.5中的椭圆所围图形绕轴旋转一周，计算该旋转体的体积．
　　      
解：绕轴旋转时，体积元素为
，
　　旋转体的体积：＝
　　　　　　　　　　＝＝

四、求平面曲线的弧长


　　设光滑曲线弧L在直角坐标系里的方程为
　　求曲线弧L的长度．
　　用微元法可分析得弧长的元素（弧微分）：，进一步可写为
，
　　于是所求的弧长为：
　　特别地，设曲线由参数方程的形式给出
，
　　则将，代入弧微分公式，可推得
　　于是所求弧长为

　　典型例题
　　例5.10.6　计算曲线上相应于的一段弧的长度．
　　解　因为，
　　所以
，
　　从而弧长微元为
　　因此，所求弧段的长度为
　　　　　　　　　　　　　＝
　　　　　　　　　　　　　　

　　例5.10.7　证明半径为的圆的周长为．
　　解　以圆心为原点建立坐标系．则圆的方程为．
　　由对称性，圆的周长等于其位于第一象限部分的弧长的4倍．
　　方法1　位于第一象限内的圆弧的方程为
，
　　从而弧长微元为
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　因此圆周的长度为
＝
　　方法2　圆的参数方程为
　　
　　因为
，
　　所以，弧长元素为
＝＝
　　于是所求弧长为


五、定积分在物理上的应用


　　1、变速直线运动的位移
　　设物体作变速直线运动，其速度为，求物体在时间间隔内的位移．
　　在内任取小区间，则物体在该小区间上的位移可近似视为
，
　　于是所求位移为

　　2、变力沿直线所作的功
　　设物体在变力作用下沿轴正向运动，从点移动到点，求它所作的功．
　　在上任取小区间，则力在该小区间上所作的微功为
，
　　于是所求的功为

　　典型例题
　　例5.10.8　已知上抛物体的运动速度为，试求物体在时间内的位移．
　　解　由变速直线运动的位移公式，得所求位移为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　例5.10.9　根据虎克定律，弹簧的弹力与形变的长度成正比．已知汽车车厢下的减震弹簧压缩1cm需力14000N，求弹簧压缩2cm时所作的功．
　　解　由虎克定律，弹簧的弹力为，其中为比例系数．（也叫弹力系数）
　　由题设，m时，，由此计算得，故弹力为
　　于是所求的功为
　　即弹簧压缩2cm时所作的功为．