一、前言

  一元函数的积分学由一元函数的不定积分与定积分这两个部分组成.这两个部分是密切相关的.我们先学习第一部分——不定积分
一、原函数与不定积分的概念

  在第三章“导数与微分”中,我们学习过导函数的概念.如果,则称的导函数,现在我们反过来称的一个原函数.
  定义5.1:设在区间上,函数可导且满足
,或
        则称在区间上的一个原函数.
   例如,在区间上,因为,即的导数,所以反过来的一个原函数,因为=,所以也是的一个原函数;又如,因为,所以都是的原函数.


   在第三章“导数与微分”中,讨论的问题是:给定一个函数,求它的导函数,即导数.
   本章讨论相反的问题:给定一个函数,求它的原函数.
   首先明确两个问题:
   (1) 函数具备什么条件时,其原函数一定存在?
   (2) 如果一个函数存在原函数,那么原函数有多少个?
  定理5.1:(原函数存在定理)如果函数在区间上连续,那么在区间上一定有原函数,即一定存在区间上的函数,使得
   简单的说就是:连续函数必有原函数.由于初等函数在其定义区间上连续,所以初等函数在其定义区间上一定有原函数.


  定理5.2:在区间上的一个原函数,则
   (1) 也是在区间上的原函数,其中为任意常数;
   (2) 的任意两个原函数之间,相差一个常数.
   定理5.2表明,如果函数有一个原函数存在,则必有无穷多个原函数,彼此之间仅相差一个常数.
   现在引进一个记号来表示的全体原函数.
  定义5.2:函数在区间上的全体原函数称为上的不定积分,记为.其中称记号称为积分号,为被积函数,为被积表达式,为积分变量.

   由定义5.2和定理5.2可知:记号表示的全体原函数,只需找出的一个原函数,则就是的全体原函数,即
  例如,因为的一个原函数,所以的全体原函数为;又如,因为的一个原函数,所以的全体原函数为

   课堂练习1
   1、是不是3的原函数?试写出3的全体原函数.
   2、是哪一个函数的原函数?
   3、是哪一个函数的原函数?
   4、是否正确?
          
解:1、因为,所以是3的一个原函数.3的全体原函数是,即.一般地有:为非零常数.
  2、因为,所以的原函数.
  3、因为,所以的原函数.
  4、因为,所以不是的原函数,故是错误的.

  典型例题
   例5.1.1
    的一个原函数,故
(公式)

   例5.1.2
      为函数的一个原函数,故
(公式)
   例如,

  课堂练习2
   求下列不定积分:
   
        
解:
    
    
   请对照答案,你做对了吗?
   思考:如何验算自己的求解结果是否正确?
   再练习两个难一点的题.

  课堂练习3
   求下列不定积分并进行验算:
        
 =
  

  例5.1.3
    ∵当时,
         当时, ,
     ∴当时,是函数的一个原函数,从而
(公式)

   例5.1.4 设曲线通过点,且曲线上任意一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍.试求此曲线的方程.
    设曲线方程为,则由题设,曲线在点处的斜率为,于是
   又因为曲线过点,代入上式,得
   从而.于是所求曲线的方程为,即

  两个重要的关系式
   ∵的原函数,
   ∴; (1)  (对先积分,后求导或微分)
   ∵的原函数,
   ∴. (2) (对先求导或微分,后积分)
   这两个关系式告诉我们,微分运算和求不定积分的运算是互逆的,记号连在一起时,或是抵消,或是抵消后相差一个常数.
   例如,
二、基本积分公式

  由于不定积分是求导数或求微分的逆运算,所以有一个导数公式,就会有一个相对应的积分公式.由基本初等函数的导数公式可得如下基本积分公式.
   (1)
   (2)  特别地:
   (3)
   (4) (有时绝对值符号也可忽略不写)
   (5) (或
   (6) (或
   (7)
   (8)
   (9)
   (10)
   (11)
   (12)
   (13)
   (14)
   以上十四个基本积分公式是求不定积分的基础,其他函数的不定积分往往经过运算变形后,最终都归结为这些公式的运用.
  典型例题
   例5.1.5 求  提示>>
    

   例5.1.6 求  提示>>
    

   例5.1.7 求  提示>>
    ∵:这里用到中学所学的公式:
     ∴
三、不定积分的线性运算法则


  定理5.3:设在区间上,函数的原函数都存在,则在区间上:
   (1) ; 
   (2)  (为常数,
   说明:
   (1)定理给出的两条运算性质可简记为:函数代数和的不定积分等于它们的不定积分的代数和;被积函数中的非零常数因子可以提到积分号外.
   (2)定理中第一条运算性质可以推广到有限多个函数的代数和的情形,即
   (3)定理给出的两条运算性质称为不定积分的线性性质.

  典型例题
   例5.1.8 求.  提示>>
    
   注:
   其中为任意常数.

   例5.1.9 求.  提示>>
    
           
           
           

  例5.1.10 求  提示>>
    
            

   例5.1.11 求  提示>>
    
   注:这里利用了三角恒等式

  例5.1.12 求.  提示>>
    
           
           
   注:这里利用了三角恒等式

   例5.1.13 求.  提示>>
   解 
         

  例5.1.14 求.  提示>>
    利用三角公式:,得
  
          

  课堂练习4
   求下列不定积分:, , 
        

  :这里利用了三角降幂公式
  对照答案,做对了吗?

  例5.1.15 已知,求
  思路 可先由求出,再对积分求出
   因为
  所以 
  故 

  例5.1.15 已知,求
  思路 可先由求出,再对积分求出
   因为
  所以 
  故 

  同步练习>>