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一、原函数与不定积分的概念 |
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在第三章“导数与微分”中,我们学习过导函数的概念.如果,则称是的导函数,现在我们反过来称是的一个原函数.
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定义5.1:设在区间上,函数可导且满足
,或,
则称是在区间上的一个原函数. |
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例如,在区间上,因为,即是的导数,所以反过来是的一个原函数,因为=,所以也是的一个原函数;又如,因为,,,所以、与都是的原函数. |
在第三章“导数与微分”中,讨论的问题是:给定一个函数,求它的导函数,即导数.
本章讨论相反的问题:给定一个函数,求它的原函数.
首先明确两个问题:
(1) 函数具备什么条件时,其原函数一定存在?
(2) 如果一个函数存在原函数,那么原函数有多少个?
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定理5.1:(原函数存在定理)如果函数在区间上连续,那么在区间上一定有原函数,即一定存在区间上的函数,使得
,.
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简单的说就是:连续函数必有原函数.由于初等函数在其定义区间上连续,所以初等函数在其定义区间上一定有原函数. |
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定理5.2:设是在区间上的一个原函数,则
(1) 也是在区间上的原函数,其中为任意常数;
(2) 的任意两个原函数之间,相差一个常数. |
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定理5.2表明,如果函数有一个原函数存在,则必有无穷多个原函数,彼此之间仅相差一个常数.
现在引进一个记号来表示的全体原函数.
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定义5.2:函数在区间上的全体原函数称为在上的不定积分,记为.其中称记号称为积分号,为被积函数,为被积表达式,为积分变量. |
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由定义5.2和定理5.2可知:记号表示的全体原函数,只需找出的一个原函数,则就是的全体原函数,即.
例如,因为,是的一个原函数,所以的全体原函数为;又如,因为,是的一个原函数,所以的全体原函数为.
课堂练习1
1、是不是3的原函数?试写出3的全体原函数.
2、是哪一个函数的原函数?
3、是哪一个函数的原函数?
4、是否正确?
解:1、因为,所以是3的一个原函数.3的全体原函数是,即.一般地有:,为非零常数.
2、因为,所以是的原函数.
3、因为,所以是的原函数.
4、因为,所以不是的原函数,故是错误的. |
典型例题
例5.1.1 求
解 ,是的一个原函数,故
(公式)
例5.1.2 求
解 ,为函数的一个原函数,故
(公式)
例如,. |
课堂练习2
求下列不定积分:
,,.
解:.
=
请对照答案,你做对了吗?
思考:如何验算自己的求解结果是否正确?
再练习两个难一点的题. |
课堂练习3
求下列不定积分并进行验算:,.
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例5.1.3 求.
解 ∵当时,,,
当时,, ,
∴当时,是函数的一个原函数,从而
(公式)
例5.1.4 设曲线通过点,且曲线上任意一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍.试求此曲线的方程.
解 设曲线方程为,则由题设,曲线在点处的斜率为,于是
=,
又因为曲线过点,代入上式,得
,
从而.于是所求曲线的方程为,即. |
两个重要的关系式
∵是的原函数,
∴ 或 ; (1) (对先积分,后求导或微分)
∵是的原函数,
∴ 或 . (2) (对先求导或微分,后积分)
这两个关系式告诉我们,微分运算和求不定积分的运算是互逆的,记号和连在一起时,或是抵消,或是抵消后相差一个常数.
例如,,. |