6.2 行列式的性质和计算

一、行列式的性质


  先引入一个新的概念——转置行列式.
  定义:将一个行列式的行与相应的列互换后得到的新行列式称为的转置行列式,记为
   设三阶行列式,将其同序号的行列互换,得的转置行列式为
  又如,设二阶行列式,则其转置行列式

  性质1 行列式与它的转置行列式相等,即.
  由此性质可知,行列式中的行与列具有相等的地位,凡对行成立的结论对列也同样成立,反之亦然.
  性质2 行列式中某一行(列)中每个元素都乘以常数,等于用数乘该行列式.
  例如
  即行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号外.
  第i行(或第i列)乘以数k,记为ri×k(或Ci×k);将第i行(或第i列)的公因式k提到行列式符号外,记为ri÷k(或Ci÷k).
  推论1 如果行列式中某一行(列)的元素全是零,则行列式等于零.
  性质3 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,则此行列式可按该行(列)拆成两个行列式之和.
  例如,

  性质4 互换行列式的两行(列),行列式变号.
  交换第i行和j行,记为;交换第i列和j列,记为
  例如,计算二阶行列式
,交换两行得:
  可见,
  性质5 如果行列式中有两行(列)完全相同,则行列式等于零.
  推论 行列式中如果有两行(或列)元素成比例,则此行列式等于零.
  例如
  性质6 把行列式的某一行(或列)的各元素乘以同一数,然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变.
  第i行(第i列)乘以数k加到第j行(第j列)上,记为rj+ kri(cj+ kci).

二、行列式按行(列)展开法则


  定义:阶行列式中,将元素所在的行和列上的所有元素都划去,留下的元素构成阶行列式,称为元素的余子式,记为,称的代数余子式.
  注意
  1、的余子式和代数余子式中并不包含
  2、余子式和代数余子式的阶数比原行列式低.
  3、代数余子式是两部分的乘积,一部分是余子式,一部分是符号.
  例如: 设三阶行列式,划去所在的第一行和第三列,留下的元素位置不动,就得到元素的余子式
  在余子式前再冠以符号,就得到代数余子式

  定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式的乘积的和.
  这个定理叫做行列式按行(列)展开法则.
  推论 行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0.
  利用按行(列)展开法则并结合行列式的性质,可以简化行列式的计算.
  例如,设三阶行列式
  则第一行的三个元素对应的代数余子式分别为,根据定理,行列式可以按第一行展开为:

  典型例题
  例6.2.1 计算行列式
   
  方法1 对角线法(略)
  方法2 按行(列)展开.例如可按第一行展开.
      
      
       
  方法3 利用行列式的性质转化为特殊三角形
  方法4

  例6.2.2 计算行列式 
   
          

           

           
           

  强调:对角线法则是我们求解三阶行列式的最基本的方法,必须熟练掌握.

  例6.2.3  计算三阶行列式
  分析:每列都出现一个a,两个b,考虑将第二列和第三列都加到第一列上去,于是第一列就有了公因式a+2b,然后可将此公因式提到行列式符号外.
   
     
  如果一个行列式的元素满足,则称为对称行列式.如果主对角线上元素全为零,其它元素满足,则称为反对称行列式.
  例如,是对称行列式.
  是反对称行列式.
  可以证明,反对称行列式的值等于零.

  例6.2.4  证明3阶反对称行列式等于0.
   设3阶反对称行列式
  每行提取公因子,可得
  所以

  例6.2.5  计算范得蒙行列式
      
              
             
             
             

  例6.2.6 解方程
   ∵ 
           
  ∴方程为,故方程的根为

本节课需要掌握的内容是行列式的性质及其推论,行列式的降阶计算方法(按行(列)展开).要求能熟练运用行列式的性质及其推论,运用按行(列)展开法则计算行列式.