一、行列式的性质先引入一个新的概念——转置行列式.
又如,设二阶行列式,则其转置行列式. |
性质1 行列式与它的转置行列式相等,即. 由此性质可知,行列式中的行与列具有相等的地位,凡对行成立的结论对列也同样成立,反之亦然. 性质2 行列式中某一行(列)中每个元素都乘以常数,等于用数乘该行列式. 例如 第i行(或第i列)乘以数k,记为ri×k(或Ci×k);将第i行(或第i列)的公因式k提到行列式符号外,记为ri÷k(或Ci÷k). 推论1 如果行列式中某一行(列)的元素全是零,则行列式等于零. 性质3 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,则此行列式可按该行(列)拆成两个行列式之和. 例如, |
性质4 互换行列式的两行(列),行列式变号. 交换第i行和j行,记为;交换第i列和j列,记为. 例如,计算二阶行列式 性质5 如果行列式中有两行(列)完全相同,则行列式等于零. 推论 行列式中如果有两行(或列)元素成比例,则此行列式等于零. 例如 第i行(第i列)乘以数k加到第j行(第j列)上,记为rj+ kri(cj+ kci). |
二、行列式按行(列)展开法则
1、的余子式和代数余子式中并不包含. 2、余子式和代数余子式的阶数比原行列式低. 3、代数余子式是两部分的乘积,一部分是余子式,一部分是符号. 例如: 设三阶行列式,划去所在的第一行和第三列,留下的元素位置不动,就得到元素的余子式 |
推论 行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0. 利用按行(列)展开法则并结合行列式的性质,可以简化行列式的计算. 例如,设三阶行列式 |
典型例题 例6.2.1 计算行列式 方法1 对角线法(略) 方法2 按行(列)展开.例如可按第一行展开. . 方法3 利用行列式的性质转化为特殊三角形 |
例6.2.2 计算行列式 强调:对角线法则是我们求解三阶行列式的最基本的方法,必须熟练掌握. |
例6.2.3 计算三阶行列式 解 如果一个行列式的元素满足,则称为对称行列式.如果主对角线上元素全为零,其它元素满足,则称为反对称行列式. 例如,是对称行列式. 是反对称行列式. 可以证明,反对称行列式的值等于零. |
例6.2.4 证明3阶反对称行列式等于0. 证 设3阶反对称行列式 |
例6.2.5 计算范得蒙行列式 |
例6.2.6 解方程 ∴方程为,故方程的根为或. |
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请认真答题,测试一下你对前面知识点的学习情况!
23.(单选题)行列式=( )
【答案】B
【解析】
【知识点】行列式按行(列)展开法则