6.4 解线性方程组的消元法

复习


　　1、线性方程组可以用它的增广矩阵来描述，与它的增广矩阵是一一对应的．
　　例如，线性方程组
　　对应的增广矩阵是

　　2、 解线性方程组的公式法
　　如果线性方程组满足两个条件：
　　（1）方程组中未知量的个数等于方程的个数，
　　（2）系数行列式不为零，
　　则可以用克莱姆法则中给出的公式解线性方程组．

　　3、解线性方程组的消元法
　　用消元法解线性方程组．
　　以二元线性方程组为例，设其为方程组（1）．
　　对换其中两个方程，得方程组（2）：
　　将方程组（2）中的第二个方程乘以4，得方程组（3）：
　　将方程组（3）中的第一个方程乘以加到第二个方程上去，得方程组（4）：
　　在（4）的第二个方程中已消去了，得到，将其代入第一个方程，即可求出．
　　解题过程中的方程组（1）、（2）、（3）、（4）都是同解方程组．
　　可见：线性方程组经过下列三种变换得到的新方程组与原方程组是同解的：
　　（1）交换两个方程；
　　（2）将某个方程乘以一个不为零的常数；
　　（3）将某个方程乘以一个数加到另一个方程上去．

　　设想：
　　解方程组时，在所有与该方程组同解的方程组中，找出最简单的一个，通过它求出原方程组的解．
　　方法：
　　对线性方程组的增广矩阵作相应的运算，即初等行变换，每变换一次，得到的新矩阵都对应原方程组的一个同解方程组．当增广矩阵变为行最简矩阵时，该行最简矩阵对应的方程组就是我们需要的最简方程组．

　　典型例题
　　例6.4.1　解三元线性方程组．
　　解
　　方法1　因为方程组中，方程的个数＝未知量的个数＝3，且系数行列式，所以，可用克莱姆法则的公式求解．（解法略）
　　方法2　利用初等行变换．
　　增广矩阵为
　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　

　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　

　　由此得方程组的解
．

　　例6.4.2　求解线性方程组
．
　　解　对方程组的增广矩阵进行初等行变换，将其变为行最简形．
　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　
　　所以原方程组化简为，
　　故原方程组的通解为
，
　　其中可以取任意实数，称为方程组的自由未知量．可见方程组有无穷多个解．
　　思考：此题是否可用公式法？请同学们自行分析一下．

　　可以算出系数行列式
，
　　因此不能用克莱姆法则中所给出的公式．

　　例6.4.3　求解线性方程组
．
　　解　对方程组的增广矩阵进行初等行变换，将其变为行最简形
　　　原方程组化简为
．
　　　从而原方程组的通解为
，
　　　其中，可以取任意实数，即为方程组的自由未知量．

　　例6.4.4　求解线性方程组
．
　　解　
　　　　　　　　　　　　　
　　所以原方程组化简为
，
　　因此方程组无解．

　　例6.4.5　试问当为何值时，线性方程组
　　有唯一解？无解？有无穷多组解？并在有无穷多组解时求解．
　　解　方程组的系数矩阵的行列式为
　　　　　
　　　　　
　　　　　
　　故由克莱姆法则知，当，即时，方程组有唯一解．
　　当时，方程组为
，
　　对其增广矩阵作初等行变换得
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　以上矩阵的最后一行相当于方程组中出现了方程
　　从而原方程组无解．
　　当时，方程组为
，
　　即，因此方程组有无穷多个解，其解为
．
　　其中为自由未知量．

消元法解线性方程组具体方法是：对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换，转化为行最简矩阵，由行最简矩阵可以方便地求出原方程组的解．