6.5 矩阵的运算及其运算规则

一、矩阵的加法与减法


　　1、运算规则
　　设矩阵，，
　　则
　　　　　
　　简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！
　　注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．

　　2、 运算性质 （假设运算都是可行的）
　　满足交换律和结合律
　　交换律　 ；
　　结合律　 ．

二、矩阵与数的乘法


　　1、 运算规则
　　数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．
　　特别地，称称为的负矩阵．
　　2、 运算性质
　　满足结合律和分配律
　　结合律： (λμ)A=λ(μA) ； (λ+μ)A =λA+μA．
　　分配律： λ (A+B)=λA+λB．

　　典型例题
　　例6.5.1　已知两个矩阵
　　满足矩阵方程，求未知矩阵．
　　解　由已知条件知
　  　
　　　　

三、矩阵与矩阵的乘法


　　1、 运算规则
　　设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：
　　(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．
　　(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．

　　典型例题
　　例6.5.2　设矩阵
　　计算
　　解　是的矩阵．设它为
　　　　

　　　　
　　想一想：设列矩阵，行矩阵，和的行数和列数分别是多少呢
　　是3×3的矩阵，是1×1的矩阵，即只有一个元素．

　　课堂练习
　　1、设，，求．
　　2、在第1道练习题中，两个矩阵相乘的顺序是A在左边，B在右边，称为A左乘B或B右乘A．如果交换顺序，让B在左边，A在右边，即A右乘B，运算还能进行吗？请算算试试看．并由此思考：两个矩阵应当满足什么条件，才能够做乘法运算．
　　3、设列矩阵，行矩阵，求和，比较两个计算结果，能得出什么结论吗？
　　4、设三阶方阵，三阶单位阵为，试求和，并将计算结果与A比较，看有什么样的结论．

　　解：
　　第1题
．
　　第2题
　　对于
，．
　　求是有意义的，而是无意义的．

　　结论1　只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数．
　　第3题
　　是矩阵，是的矩阵．
　　　       ．
           
    结论2　在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律．
　　第4题
　　计算得：．
　　结论3　方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．
　　单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用．

　　典型例题
　　例6.5.3　设，试计算和．
　　解　
　　　　　　
　　　　　　．
　　　　
　　　　　　
　　　　　　
    结论4　两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵．由此若，不能得出或的结论．

　　例6.5.4　利用矩阵的乘法，三元线性方程组
　　可以写成矩阵的形式
＝
　　若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为
，，，
　　则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式：．

　　2、 运算性质（假设运算都是可行的）
　　(1)　结合律　．
　　(2)　分配律　（左分配律）；
　　　　　　　　　（右分配律）．
　　(3)　．
　　 3、 方阵的幂
　　定义：设A是方阵，是一个正整数，规定
，
显然，记号表示个A的连乘积．

四、矩阵的转置


　　1、 定义
　　定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．
　　例如，矩阵的转置矩阵为．
　　2、运算性质（假设运算都是可行的）
　　(1)　
　　(2)　
　　(3)　
　　(4)　，是常数．

　　典型例题
　　例6.5.5  利用矩阵
　　验证运算性质：
　　解　 ；
　　而
　　　　
　　所以
　　　．

　　定义：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵．
　　对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．

五、方阵的行列式


　　1、定义
　　定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作或．

　　2 、运算性质
　　(1) （行列式的性质）
　　(2) ，特别地：
　　(3) （是常数，A的阶数为n）
　　思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A的行列式之间的关系为什么不是，而是？

　　不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．
　　例如，则．
　　于是，而 ．
　　思考：设，有几种方法可以求？
　　解  方法一：先求矩阵乘法，得到一个二阶方阵，再求其行列式．
　　　　方法二：先分别求行列式，再取它们的乘积．