6.6 逆矩阵

一、方阵可逆及逆阵的定义


　　定义：对于n阶方阵A，若存在同阶方阵B，使得
AB=BA=E，
则称方阵A是可逆的，并称B为A的逆矩阵．A的逆矩阵记作．
　　注意：
　　(1)可逆阵一定是方阵，但不是所有方阵均可逆．
　　(2)当可逆时，其逆矩阵也可逆，它们互为逆矩阵．
　　(3)若可逆，则其逆阵是唯一的．
　　证　设、都是的逆矩阵，即
故
.

二、方阵可逆的充分必要条件


　　充要条件 1
　　若AB＝E(或BA＝E)，则与均可逆，且互为逆阵，即＝，同时=．
　　充要条件 2
　　方阵可逆的充分必要条件是其行列式不为零，即
方阵可逆<=>．
　　定义：通常我们将行列式不为零的方阵称为非奇异矩阵，行列式为零的方阵称为奇异矩阵，所以也可以说
方阵可逆<=>为非奇异矩阵．
　　特别地，若矩阵A是一阶方阵，即只有一个元素时，则方阵可逆<=>．

　　两个充要条件的应用
　　(1)判断一个方阵是否可逆．
　　(2)证明某矩阵是另一个矩阵的逆阵．

　　典型例题
　　例6.6.1　证明下列命题成立
　　(1)若可逆，数，则也可逆，且．
　　(2)若与为同阶矩阵且均可逆，则也可逆，且．　提示>>
　　证明：
　　(1)∵，
　　　　∴可逆，且．
　　(2)∵ ，
　　　　∴　可逆，且．

　　例6.6.2　设均为阶矩阵，可逆并且．试证 和都是可逆矩阵.提示>>
　　证明　由已知条件可知，
　　进一步有
　　两边取行列式有
　　即
　　因为可逆，所以是非奇异方阵，即，从而
，
　　于是
且，
　　故和都是可逆矩阵．

　　例6.6.3　设是非奇异矩阵，且，证明．　提示>>
　　证　因为是非奇异矩阵，即，所以可逆，即存在．
　　在等式的两端同时左乘，得
　　于是
　　即
．

三、如何求可逆方阵的逆阵


　　1、 伴随矩阵
　　定义：设阶矩阵 ，其行列式中元素的代数余子式构成的矩阵
称为矩阵的伴随矩阵．
　　注意：
　　(1) 矩阵中各行的元素的代数余子式成为伴随矩阵中同序号的列的元素．
　　(2) 伴随矩阵具有性质

　　2 、 利用伴随矩阵求方阵的逆阵
　　定理： 可逆的充要条件是（即为非奇异方阵），且
．

　　典型例题
　　例6.6.4　讨论矩阵的可逆性．如果可逆，求出其逆矩阵．
　　解　因为
　　　　　，
　　所以方阵可逆．
　　由于
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
　　所以
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　

　　例6.6.5　设二阶方阵，试问当满足什么条件时，矩阵可逆？当可逆时，求出其逆矩阵．
　　解　因为
，
　　所以当时，矩阵可逆．
　　由于
　　　
　　故当时，
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例如，设，则．

四、可逆方阵的性质


　　

五、逆阵的应用


　　1 、利用逆阵求解矩阵方程
　　(1) 设矩阵方程为，是可逆方阵，即存在，在方程两边同时左乘，即得：，从而得方程组的解：，求出代入即可．
　　(2) 设矩阵方程为，是可逆方阵，即存在，在方程两边同时右乘，即得：，从而得方程组的解：，求出代入即可．
　　(3) 设矩阵方程为，和均为可逆方阵，即和均存在，在方程两边同时左乘，右乘，即得：，从而得方程组的解：，求出和代入即可．

　　2 、利用逆阵求解线性方程组（当方程个数和未知量个数相等时）
　　线性方程组可用矩阵方程来表示，其中是系数矩阵，是未知量构成的列矩阵，是常数项构成的列矩阵．
　　于是，当系数矩阵可逆，即存在时，在方程两边同时左乘，即得：，从而得到方程组的解：．
　　注：利用逆阵求解线性方程组是有条件的，首先系数矩阵必须是方阵，即方程组所含方程的个数与未知量的个数必须相等；其次系数矩阵还必须是可逆的．这和运用克莱姆法则解线性方程组的条件是一致的．

　　典型例题
　　例6.6.6　解线性方程组
　　　　　　　　　　
　　解　令则方程组改写成矩阵方程．如果可逆，则方程组的解为：．
　　因为
　　故可逆，即存在，
　　因此，
．
　　即
　　也可进一步写出：．

通过本节的学习，需要理解和掌握的是：
(1) 方阵可逆的定义
(2) 判断方阵可逆的两个充要条件及其在解题中的应用
(3) 利用伴随矩阵求逆矩阵的公式
(4) 可逆方阵的性质
(5) 求方阵的逆阵在解矩阵方程和线性方程组中的应用．