4.1 随机变量的数学期望

前言


　　对于这一章，老师在讲课时对知识的组织与教材不同，原因是希望将重要知识串起来，便于大家的理解。另外这一章在考试中，含分量很高，所以大家要重要掌握。2、3、4这三章都很重要，第四章要用到2、3章的很多内容。
　　大家知道，随机变量的概率分布完整地描述了它的统计规律，但在很多实际问题中求出精确的随机变量的分布并不容易，而且在很多场合，人们只希望通过少数数字来了解随机变量变化规律的主要特征。比如，股票价格在某个时期有上下起伏，投资者需要了解它的平均价格和波动率。又如某城市中午12点的气温可以看作一个随机变量，要了解它在某个月中变化的情况，人们往往关心该月的平均气温和变化幅度的大小，这就涉及到该随机变量（气温）的概率分布的一些特征。在下面的一节里，我们将介绍随机变量最重要的特征数：数学期望。

一、加权平均的概念


　　人们在研究一个随机变量时，一个感兴趣的问题是X取值的“平均位置”，例如当X的分布律为
　　X的可能值为0，1，2，若把X=1视为X的平均位置，显然不合理，此因它取这三个值的概率不同，如何合理的给出X的平均位置就是本节讨论的中心问题。

　　（1）算术平均：如果有n个数，那么求这n个数的算术平均是很简单的事，只需将此n个数相加后除n即可。
　　（2）加权平均：如果这n个数中有相同的，不妨设其中有个取值为，将其列表为
　　则其“均值”应为
　　其实这个“加权”平均的权数就是出现数值的频率，而频率在 n 很大时，就稳定在其概率附近。
　　（3）对于一个离散随机变量X，如果其可能取值为，若将这n个数相加后除n作为“均值”，则肯定是不妥的，其原因在于X取各个值的概率是不同的，概率大的出现的机会就大，则在计算中其权也应该大，这启示我们：用取值的概率作为一种“权数”作加权平均是十分合理的。
　　经以上分析，我们就可以给出数学期望的定义。

二、数学期望的定义


　　定义4.1.1：设离散随机变量X的分布列为如果，则称
为随机变量X的数学期望，或称该分布的数学期望，简称期望或均值。若级数 不收敛，则称X的数学期望不存在。

　　以上定义中，要求级数绝对收敛的目的在于使数学期望唯一，因为随机变量的取值可正可负，取值次序可先可后，由无穷级数的理论知道，如果此无穷级数绝对收敛，则可保证其和不受次序变动的影响，由于有限项的和不受次序变动的影响，故其数学期望总是存在的。
　　连续随机变量数学期望的定义和含义完全类似于离散随机变量场合，只要将分布列改为密度函数，将求和改为求积就可。
　　定义4.1.2：设连续随机变量X的密度函数为，如果，则称
为X的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值，若不收敛，则称X的数学期望不存在。

　 例4.1.1：设甲、乙两射手击中目标的环数分别为X，Y，分布律为 ，试问甲、乙谁的技术好些？
　　解：这只需比较一下二者射击的平均命重环数即可，事实上，（环），（环），显然甲射手的技术相对好些。

　　例4.1.2：设～，，求p
　　解：由题设有，由此解得。

　　例4.1.3：设X服从区间上的均匀分布，求。
　　解：知X的密度函数为
　　　　所以
　　 　　　　这个结果是可以理解的，因为X在区间上的取值是均匀的，所以它的平均取值当然应该是的“中点”，即。　

三、数学期望的性质


　　按照随机变量X的数学期望的定义，由其分布唯一确定，如今若要求随机变量X的一个函数的数学期望，当然要先求出的分布，再用此分布来求.这一过程可用下面例子说明。

　　例4.1.4：已知随机变量X的分布列如下：
　　要求的数学期望，为此要分两步进行：
　　第一步，先求的分布，这可从X的分布导出，即
　　　　　　然后对相等的值进行合并，并把对应的概率相加，可得
　　第二步，利用的分布求，可得相同的结果。
　　假如我们用等值合并前的分布求，可得相同的结果。
　　这两种算法本质上是一回事，但后者的计算实质上是在X的分布（0.2，0.1，0.1，0.3，0.3）基础上，而将取值改为计算出来的，由此启发我们：若进一步要求和，我们不需要先求的分布和的分布，而直接用X的分布来求，具体如下。
。
。
　　一般场合，有如下定理：

　　定理4.1.1：若随机变量X的分布用分布列或用密度函数表示，则X的某一函数 的数学期望为
　　这里所涉及的数学期望都假设存在。
　　这个定理的证明涉及更多的工具，在此省略了。现基于这个定理来证明数学期望的几个常用性质，以下均假定所涉及的数学期望是存在的。

　　性质4.1.1：若c是常数，则。
　　证明：如果将常数c看作仅取一个值的随机变量X，则有，从而其数学期望。

　　性质4.1.2：对任意常数a，有
　　证明：在（4.1.4）式中令，然后把a从求和号或积分号中提出来即得。

　　性质4.1.3：对任意的两个函数和，有
　　证明：在（4.1.4）式中令，然后把和式分解成两个和式，或把积分分解成两个积分即得。
　　定理4.1.2：若二维随机变量的分布用联合分布列或用联合密度函数表示，则的数学期望为
　　这里所涉及的数学期望都假设存在。

　　还要指出，在连续场合（离散场合也类似）有：
　　●当时，可得X的数学期望为

　　性质4.1.4：设是二维随机变量，则有
　　证明：不妨设为连续随机变量（对离散随机变量可类似证明），其联合密度函数为，若令，则由定理4.1.2可得
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　 　　(4.1.10)
　　这个性质可简单叙述为“和的期望等于期望的和”，这个性质还可推广到n维随机变量场合，即
　　进一步的还有更一般的场合：
　　上式不需要附加任何条件，这表明运算与“”求和运算可在任何场合交换运算顺序。

　　性质4.1.5：若随机变量X与Y相互独立，则有
　　证明：不妨设为连续随机变量（对离散随机变量可类似证明），其联合密度函数为，由X与Y独立可知。若令，则由定理4.1.2可得
　　　　　
　　　　　
　　　　　
　　　　　这个性质可推广到n维随机变量场合，即若相互独立，则有
　　期望的性质很重要，结论一定要记住，而且要灵活运用。

　　例4.1.5：设的概率密度为，求（1）（2）。
　　解：（1）
　　　　（2）