第三章 向量空间

一、n 维向量线性运算的定义和性质

例1 已知其中，

则 ____________.

测试点  n 维向量线性运算的定义和性质

解  因为,所以

故   (请验算)

答案   .

例2 设向量则由线性表出的表示式为_____________.

测试点  向量由向量组线性表示;组合系数的求法

解  考虑   

该线性方程组的增广矩阵

所以  

答案   (验算!)

1．向量组的线性相关性的定义和充分必要条件：

1）定义: 设是一组n维向量.如果存在m个不全为零的数，使得

,

则称向量组线性相关，否则，即如果，必有

，则称向量组线性无关.

2) m 个n 维向量线性相关的充分必要条件是至少存在某个是其余向量的线性组合.即线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.

例3 设向量组线性相关，则必可推出（　　　）

A．中至少有一个向量为零向量

B．中至少有两个向量成比例

C．中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合

D．中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合

测试点  向量组线性相关的概念

答案  C

例4 向量组线性无关的充分条件是

A. 都不是零向量

B. 中任意两个向量都不成比例

C. 中任意一个向量都不能表为其余向量的线性组合

D. 中任意个向量都线性无关

测试点  向量组线性相关的概念;  充分条件;必要条件;充分必要条件.

解      都不是零向量,但线性相关.

       中任意两个向量都不成比例,且其中任意3-1=2个向量都线性无关,但线性相关.故A,B,D都不正确.

答案  C

例5.设向量组线性无关，证明向量组也线性无关.

测试点  向量组线性无关的定义; 

证  设 

因为    

则      

即       

因为线性无关,故,所以只能.

这表明若,必有.据向量组线性无关的定义,知也线性无关

例6.若向量组线性无关,则可能的取值应满足     .

测试点  n 个 n 维向量线性无关相应的行列式;

解

所以  且.

答案   且.

1) 如果向量组线性无关,而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.

2)  线性相关的向量组再增加向量所得的新向量组必线性相关.(部分相关,则整体相关;或整体无关,则部分无关)

3)  若向量组线性无关,则接长向量组

必线性无关.

3．判断向量组线性相关性的方法

1)一个向量 线性相关；

2)含有零向量的向量组必线性相关；

3)向量个数＝向量维数时，n维向量组线性相关

.                

4)向量个数>向量维数时, 向量组必线性相关；

5)部分相关，则整体必相关；（整体无关，则部分必无关）.

6)若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；

7)向量组线性无关向量组的秩＝所含向量的个数，向量组线性相关向量组的秩<所含向量的个数;

8)向量组线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组

有（没有）非零解.

例7 设 n 维向量组线性无关,则

A．组中减少任意一个向量后仍线性无关

B．组中增加任意一个向量后仍线性无关

C．存在不全为零的数,使

D．组中至少有一个向量可以由其余向量线性表出

解析  因为若向量组线性相关，则增加任何一个向量后仍线性相关，其等价的定理是向量组相性无关，则组中减少任意一个向量后仍线性无关

答案  A

例8 设向量，下列命题中正确的是（　　　）

A．若线性相关，则必有线性相关     

B．若线性无关，则必有线性无关

C．若线性相关，则必有线性无关

D．若线性无关，则必有线性相关

答案  B

例9 设向量组线性无关,而向量组线性相关.证明:向量必可表为的线性组合.

测试点  关于线性相关性的几个定理

证1因为线性相关，故线性相关，又因为线性无关,所以必可表为的线性组合.               

证毕.

证2  因为线性无关,故必线性无关,又因为线性相关

故必能由线性表示,当然可表为的线性组合.         

证毕.

1．极大无关组的定义：

设是向量组的一个部分组.如果（1）线性无关；（2）任给，都有线性相关，则称是向量组T的一个极大无关组.

2．向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩；求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法

例10的行向量组的秩=____________.

测试点  矩阵的秩与向量组的秩之间的关系;

答案 2  

例11 设是一个4维向量组，若已知可以表为的线性组合，且表示法惟一，则向量组的秩为（      ）

A．1                                  B．2

C．3                                  D．4

测试点  （1）向量组的秩的概念；（2）向量由向量组线性表示的概念 （3）向量组线性相关和线性无关的概念

解  因为可以表为的线性组合，且表示法惟一，必有线性无关,因为

设，由可以表为的线性组合，即

故       

由表示法惟一，有

于是有，故线性无关，又可以表为的线性组合，所以为向量组的一个极大无关组，故向量组的秩为3.

答案  C

例12 设向量组

（1）求向量组的秩和一个极大线性无关组；

（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合.

测试点  求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法

解 

所以，原向量组的秩为3， 为所求的极大无关组.

1. n 维向量空间的定义：n 维实向量的全体构成的集合称为n 维向量空间，记为.

2. 子空间的定义：设V是的一个非空子集，且满足对加法运算和数乘运算封闭，则称V是的一个子空间,简称为向量空间V.

3.生成子空间的定义：设则由它们的所有线性组合构成的一个子空间，称它为由生成的子空间.

例13 设

，说明哪个是子空间，那个不是.

解析  在中，任取为任意数，都有

所以是子空间.

类似地，可以证明也是子空间.

但对，取都属于而

这表明对加法运算不封闭，故不是子空间.

向量空间V的一个向量组线性无关，且V中每个向量都能由它线性表示，则称它为向量空间的一个基.零空间没有基，定义它为0维，否则，称向量空间的基所含向量个数 r 为该空间的维数.设

称为在这组基下的坐标.

例14向量空间为实数}的维数为_______________.

测试点  向量空间维数的概念

解 容易看出 是V的一个基。

答案 2 

例15证明向量组是的一组基，则向量在这组基下的坐标是____________.

测试点  向量在一组基下的坐标

解  因为

故线性无关，所以它是的一组基.

考虑       

该线性方程组的增广矩阵为

得  

所以在这组基下的坐标是（即）

答案  .

例16 求由向量组生成的子空间的一个基，并说明该生成子空间的维数.

解析  显然是的一个极大无关组，故是由向量组生成的子空间的一个基，所以该子空间的维数等于2。