第五章 特征值与特征向量

例3 设3阶矩阵A的每行元素之和均为2,则A必有一个特征值为          .

测试点1. 特征值的定义 2.

解  因为3阶矩阵的每行元素之和均为2,

  

所以A必有一个特征值为2.

答案  2

例4 设矩阵，则A的线性无关的特征向量的个数是（　　　）

A．                                B．

C．                               D．

解 A的特征值为，当时，

所以，故(3E-A)x=0的基础解系只含一个解，这表明A只有一个属于特征值3的线性无关的特征向量，故A的线性无关的特征向量的个数是3.

答案  C

1）与A有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；

2）设都是矩阵A属于特征值的特征向量，是数，只要，则也是矩阵A属于特征值的特征向量；

3) 设阶方阵的个特征值为,则

(2).

4）矩阵A属于不同特征值的特征向量线性无关;

5）设是矩阵A属于特征值的特征向量，则是矩阵f(A)属于特征值的特征向量，其中.

6)设是可逆矩阵A的特征值.则，且是矩阵的特征值.

3．特征值、特征向量的求法

例5 设n阶矩阵A有一个特征值为-2,对于n阶单位矩阵E,矩阵A-2E必有一个特征值为        .

解  f(A)=A-2E，则f(x)=x-2，因为A有一个特征值为-2,故A-2E必有一个特征值为

 

例6 设A为n阶可逆矩阵，已知A有一个特征值为2，则必有一个特征值为_____________.

测试点  若为可逆矩阵A的一个特征值，则为矩阵的特征值.

解   因为A有一个特征值为2，故2A有一个特征值为4,所以必有一个特征值为.

答案  .

 

例7 已知A是n阶矩阵，且满足方程,证明A的特征值只能是0或-2.

测试点  设为A的特征值，，则为矩阵的特征值.O矩阵的所有特征值均为0.

证  设为A的特征值，则必为的特征值，又因为

，故，故必有或.证毕

1.相似矩阵的定义 

设A,B都是n阶方阵，如果存在可逆阵P,使得，则称A与B相似.

2. 相似矩阵的性质

1)反身性，对称性，传递性；

2）若方阵A与B相似，则A与B有相同的特征值，（但不一定有相同的特征向量）进而，且,其中表示矩阵A的迹，即,为方阵A的n个特征值；

注意：反之，若A与B有相同的特征值，A与B不一定相似；例如有相同的特征值，但A与B不相似.

例8 设3阶矩阵A与B相似,且已知A的特征值为则矩阵B的迹  （     ）

A.  3          B.  2         C.1           D.0

测试点

1. 相似矩阵的特征值相同;从而其迹和行列式也相同；

2.矩阵的特征值与该矩阵的迹和行列式的关系.

解  由已知B的特征值也为0,1,2,故B的迹

答案  A

例9 设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2,2,3, 则=（　　　）

A．                               B．

C．7                                 D．12

测试点

(1) 相似矩阵的特征值相同;

(2)设为矩阵A的一个特征值,则为矩阵的特征值;为矩阵的特征值.

(3)矩阵的特征值与该矩阵的迹和行列式的关系.

解  因为3阶矩阵A与B相似,所以B与A有相同的特征值,所以B的特征值为2,2,3,故

的特征值为从而

答案  A

 

例10 若2阶矩阵A相似于矩阵，E为2阶单位矩阵，则与矩阵E-A相似的矩阵是（         ）

A．                              B．

C．                            D．

测试点  相似矩阵的概念；相似矩阵的性质（若与相似，则与相似；相似矩阵有相同的特征值等）；三角形矩阵的特征值

解1  ，故E-B的特征值为.因为A与B相似，故E-A与E-B相似，所以，凡与矩阵E-A相似的矩阵的特征值都是-1,4,故在A,B,C,D四个选项中，正确的只能是C.

解2 因为二阶方阵E-A有两个不同的特征值，故E-A与对角阵相似，同理也与对角阵相似，故E-A与相似.

答案  C

1)n阶方阵A能与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量；设是方阵A的n个特征值，依次是方阵A的属于特征值的n个线性无关的特征向量.若令，则

.

2）若方阵A有n个不同的特征值（即特征方程无重根），则A必能与对角阵相似.（这是A能与对角阵相似的充分条件，不是必要条件）

例11 n阶矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是（        ）

A 矩阵A有n个特征值          　　B 矩阵A有n个线性无关的特征向量

C                        D  矩阵A的特征多项式没有重根

答案  B

 

例12 判断能否与对角阵相似.

解析 

故(E-A)x=0的基础解系只含一个解，即只有一个线性无关的特征向量，故

不能与对角阵相似.

例13 A为三阶矩阵，0,-1,1为它的三个特征值, 其对应的特征向量为。设，则下列等式错误的是（       ）

A.                 B.

C.                  D.

解析   因为依次是矩阵A属于特征值0,-1,1的特征向量，故

  ,所以

答案 C

例14 设矩阵，求可逆矩阵P及对角矩阵D，使得.

解   (1)求A的特征值和线性无关的特征向量

     .

所以A的特征值为     .

(2)  当时

取为约束未知数,取为自由未知数,得为齐次方程组 的基础解系.故为A属于特征值的特征向量.

当时

取为约束未知数,取为自由未知数,得

当时

取为约束未知数,取为自由未知数,得

取,

则有.

验算 只要检查

所以AP=PD ，从而   

例15 设3阶矩阵A的特征值为:且已知A属于特征值的特征向量为A属于特征值的特征向量为.求矩阵A.

测试点  关于n阶方阵A与对角阵相似的公式:设为三阶方阵A的三个特征值,依次为A属于特征值的线性无关的特征向量,则令

          有

故          

解 令

为求A,需先求.

         

所以

故

例16 已知2阶矩阵A的特征值为-1与2，对应的特征向量分别为求：（1）A；（2）

知识点  利用矩阵与对角阵形似将计算转化为计算 

解  因为2阶矩阵A的特征值为-1与2，对应的特征向量分别为取，则,所以

.

 

例17 设矩阵，存在，使得

；存在使得.试求可逆矩阵P，使得.

测试点  方阵的特征值和特征向量的定义；方阵能与对角阵相似的充分必要条件及其相应的等式

解  因为，，令 有

同理，取，有，

故

故取  ，

则.

1.向量内积的定义:设

2．向量的长度

3．单位化向量

4．正交向量组的定义及其性质

定义  如果一个向量组不含零向量，且其中任意两个向量都正交（简称两两正交），则称该向量组为正交向量组.

主要性质  正交向量组必线性无关

5．施密特正交化手续

例18 已知3维向量则内积____________.

测试点  内积的定义

解     

答案  

例19 求一个单位向量使得与都正交.

解  设与都正交,则

         

可取,单位化得即为所求.

 

例20 利用施密特正交化方法，将下列向量组化为正交的单位向量组:

                     ， .

测试点  施密特正交化手续

解 取

则为所求的单位正交向量组.

验算

1）正交矩阵的定义；如果n阶方阵A满足，则称它为正交阵

2）正交矩阵的性质：设方阵A为正交阵，则必可逆，且；

如果A,B都是n阶正交阵，则AB也是正交阵；A是正交阵的充分必要条件是A的列（行）向量组构成的标准正交基.

1．实对称矩阵的特征值都是实数；

2．实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交；

3．实对称矩阵必能与对角阵相似，且存在正交阵P，使得为对角形.

4．任给实对称阵A，如何求出正交阵P，使得为对角形.

例21设3阶实对称矩阵A的特征值为，则秩(A)=（　　　）

A．                               B．

C．                               D．

测试点

1.相似矩阵与等价矩阵的概念;

2.等价矩阵有相等的秩;

3.阶梯形矩阵的秩

解  因为3阶实对称矩阵A的特征值为,故矩阵A必与对角阵相似,所以A必与对角阵等价,所以秩(A)=1.

答案  B

例22设矩阵，求正交矩阵P，使为对角矩阵.

解  (1) 

所以A的所有特征值为.

(2)当时,

取为约束未知数,为自由未知数,为齐次方程组的基础解系.故为A属于特征值的特征向量.

当时,

取为约束未知数,为自由未知数,为齐次方程组(3E-A)x=0的基础解系.故为A属于特征值的特征向量.

(3), ,则正交阵,

且  (请验算!)