1.特征值与特征向量的定义
要点:是n阶方阵A的特征值,是指存在非零列向量
,使得
.这时,称
为矩阵A属于特征值
的特征向量.由此知,
是n阶方阵A的特征值
,这时,齐次方程组
的非零解都是矩阵A属于特征值
的特征向量.
例1 设A为3阶矩阵,E为3阶单位阵,若行列式|2E-3A|=0,则A的一个特征值为 ( )
A. B.
C.
D.
测试点 为A的特征值的充分必要条件是
.
解 因为|2E-3A|=0,故所以A必有一个特征值为
.
答案 B
例2 已知矩阵的一个特征值为
,则
____________.
测试点 为A的特征值的充分必要条件是
.
解 为矩阵
的一个特征值
故.
答案
例3 设3阶矩阵A的每行元素之和均为2,则A必有一个特征值为 .
测试点1. 特征值的定义 2.
解 因为3阶矩阵的每行元素之和均为2,
所以A必有一个特征值为2.
答案 2
例4 设矩阵,则A的线性无关的特征向量的个数是( )
A. B.
C. D.
解 A的特征值为,当
时,
所以,故(3E-A)x=0的基础解系只含一个解,这表明A只有一个属于特征值3的线性无关的特征向量,故A的线性无关的特征向量的个数是3.
答案 C
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【单选题】23.矩阵的非零特征值为( )。
【答案】B
【解析】因各行元素之和等于3,则3是它的一个特征值.。
【知识点】方阵A的特征值的充要条件
2.关于特征值、特征向量的性质
1)与A有相同的特征值,但不一定有相同的特征向量;
2)设都是矩阵A属于特征值
的特征向量,
是数,只要
,则
也是矩阵A属于特征值
的特征向量;
3) 设阶方阵
的
个特征值为
,则
(2).
4)矩阵A属于不同特征值的特征向量线性无关;
5)设是矩阵A属于特征值
的特征向量,则
是矩阵f(A)属于特征值
的特征向量,其中
.
6)设是可逆矩阵A的特征值.则
,且
是矩阵
的特征值.
3.特征值、特征向量的求法
例5 设n阶矩阵A有一个特征值为-2,对于n阶单位矩阵E,矩阵A-2E必有一个特征值为 .
解 f(A)=A-2E,则f(x)=x-2,因为A有一个特征值为-2,故A-2E必有一个特征值为
例6 设A为n阶可逆矩阵,已知A有一个特征值为2,则必有一个特征值为_____________.
测试点 若为可逆矩阵A的一个特征值,则
为矩阵
的特征值.
解 因为A有一个特征值为2,故2A有一个特征值为4,所以必有一个特征值为
.
答案 .
例7 已知A是n阶矩阵,且满足方程,证明A的特征值只能是0或-2.
测试点 设为A的特征值,
,则
为矩阵
的特征值.O矩阵的所有特征值均为0.
证 设为A的特征值,则
必为
的特征值,又因为
,故
,故必有
或
.证毕
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【单选题】24. 已知三阶方阵A的三个特征值为,则
( )。
【答案】C
【解析】因为A的三个特征值为,设
,则
故的三个特征值为
所以 。
【知识点】特征值的性质
1.相似矩阵的定义
设A,B都是n阶方阵,如果存在可逆阵P,使得,则称A与B相似.
2. 相似矩阵的性质
1)反身性,对称性,传递性;
2)若方阵A与B相似,则A与B有相同的特征值,(但不一定有相同的特征向量)进而,且
,其中
表示矩阵A的迹,即
,
为方阵A的n个特征值;
注意:反之,若A与B有相同的特征值,A与B不一定相似;例如有相同的特征值,但A与B不相似.
例8 设3阶矩阵A与B相似,且已知A的特征值为则矩阵B的迹
( )
A. 3 B. 2 C.1 D.0
测试点
1. 相似矩阵的特征值相同;从而其迹和行列式也相同;
2.矩阵的特征值与该矩阵的迹和行列式的关系.
解 由已知B的特征值也为0,1,2,故B的迹
答案 A
例9 设3阶矩阵A与B相似,且已知A的特征值为2,2,3, 则=( )
A. B.
C.7 D.12
测试点
(1) 相似矩阵的特征值相同;
(2)设为矩阵A的一个特征值,则
为矩阵
的特征值;
为矩阵
的特征值.
(3)矩阵的特征值与该矩阵的迹和行列式的关系.
解 因为3阶矩阵A与B相似,所以B与A有相同的特征值,所以B的特征值为2,2,3,故
的特征值为
从而
答案 A
例10 若2阶矩阵A相似于矩阵,E为2阶单位矩阵,则与矩阵E-A相似的矩阵是( )
A. B.
C. D.
测试点 相似矩阵的概念;相似矩阵的性质(若与
相似,则
与
相似;相似矩阵有相同的特征值等);三角形矩阵的特征值
解1 ,故E-B的特征值为
.因为A与B相似,故E-A与E-B相似,所以,凡与矩阵E-A相似的矩阵的特征值都是-1,4,故在A,B,C,D四个选项中,正确的只能是C.
解2 因为二阶方阵E-A有两个不同的特征值,故E-A与对角阵相似,同理
也与对角阵
相似,故E-A与
相似.
答案 C
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【单选题】25. 设.如果
是矩阵A属于特征值
的特征向量.则下列命题错误的是( )。
【答案】D
【解析】因为是矩阵A的特征值,又
,故A与B相似,所以
也是矩阵B的特征值,且|A|=|B|,trA=trB,故错误的命题是D。
【知识点】相似矩阵的性质
3.方阵的对角化问题
1)n阶方阵A能与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量;设是方阵A的n个特征值,
依次是方阵A的属于特征值
的n个线性无关的特征向量.若令
,则
.
2)若方阵A有n个不同的特征值(即特征方程无重根),则A必能与对角阵相似.(这是A能与对角阵相似的充分条件,不是必要条件)
例11 n阶矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是( )
A 矩阵A有n个特征值 B 矩阵A有n个线性无关的特征向量
C D 矩阵A的特征多项式没有重根
答案 B
例12 判断能否与对角阵相似.
解析
故(E-A)x=0的基础解系只含一个解,即只有一个线性无关的特征向量,故
不能与对角阵相似.
例13 A为三阶矩阵,0,-1,1为它的三个特征值, 其对应的特征向量为。设
,则下列等式错误的是( )
A. B.
C. D.
解析 因为依次是矩阵A属于特征值0,-1,1的特征向量,故
,所以
答案 C
例14 设矩阵,求可逆矩阵P及对角矩阵D,使得
.
解 (1)求A的特征值和线性无关的特征向量
.
所以A的特征值为 .
(2) 当时
取为约束未知数,取
为自由未知数,得
为齐次方程组
的基础解系.故为A属于特征值
的特征向量.
当时
取为约束未知数,取
为自由未知数,得
当时
取为约束未知数,取
为自由未知数,得
取,
则有.
验算 只要检查
所以AP=PD ,从而
例15 设3阶矩阵A的特征值为:且已知A属于特征值
的特征向量为
A属于特征值
的特征向量为
.求矩阵A.
测试点 关于n阶方阵A与对角阵相似的公式:设为三阶方阵A的三个特征值,
依次为A属于特征值
的线性无关的特征向量,则令
有
故
解 令
为求A,需先求.
所以
故
例16 已知2阶矩阵A的特征值为-1与2,对应的特征向量分别为求:(1)A;(2)
知识点 利用矩阵与对角阵形似将计算转化为计算
解 因为2阶矩阵A的特征值为-1与2,对应的特征向量分别为取
,则
,所以
.
例17 设矩阵,存在
,使得
;存在
使得
.试求可逆矩阵P,使得
.
测试点 方阵的特征值和特征向量的定义;方阵能与对角阵相似的充分必要条件及其相应的等式
解 因为,
,令
有
同理,取,有
,
故
故取 ,
则.
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【单选题】26.下列矩阵中不能与对角阵相似的是( )。
【答案】D
【解析】因为A,B中的矩阵都为三角阵,且主对角线上是三个不同的元素,说明它们的特征多项式无重根,故必能与对角阵相似.C的矩阵为实对称矩阵,必能与对角阵相似. D中矩阵的三个特征值为,而
的秩为
故矩阵
只有一个线性无关的特征向量,所以它不能与对角阵相似。
【知识点】方阵与对角阵相似问题
1.向量内积的定义:设
2.向量的长度
3.单位化向量
4.正交向量组的定义及其性质
定义 如果一个向量组不含零向量,且其中任意两个向量都正交(简称两两正交),则称该向量组为正交向量组.
主要性质 正交向量组必线性无关
5.施密特正交化手续
例18 已知3维向量则内积
____________.
测试点 内积的定义
解
答案
例19 求一个单位向量使得
与
都正交.
解 设与
都正交,则
可取,单位化得
即为所求.
例20 利用施密特正交化方法,将下列向量组化为正交的单位向量组:
,
.
测试点 施密特正交化手续
解 取
则为所求的单位正交向量组.
验算
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【单选题】27.下列命题错误的是( )。
【答案】B
【解析】据正交向量组的定义和性质知,错误的是B。
【知识点】正交向量组的定义和性质
6. 正交矩阵
1)正交矩阵的定义;如果n阶方阵A满足,则称它为正交阵
2)正交矩阵的性质:设方阵A为正交阵,则必可逆,且
;
如果A,B都是n阶正交阵,则AB也是正交阵;A是正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量组构成的标准正交基.
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【单选题】28.下列矩阵中不是正交阵的是( )。
【答案】D
【解析】因为D选项的行列式值为,故它不是正交阵。
【知识点】正交矩阵
1.实对称矩阵的特征值都是实数;
2.实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交;
3.实对称矩阵必能与对角阵相似,且存在正交阵P,使得为对角形.
4.任给实对称阵A,如何求出正交阵P,使得为对角形.
例21设3阶实对称矩阵A的特征值为,则秩(A)=( )
A. B.
C. D.
测试点
1.相似矩阵与等价矩阵的概念;
2.等价矩阵有相等的秩;
3.阶梯形矩阵的秩
解 因为3阶实对称矩阵A的特征值为,故矩阵A必与对角阵
相似,所以A必与对角阵
等价,所以秩(A)=1.
答案 B
例22设矩阵,求正交矩阵P,使
为对角矩阵.
解 (1)
所以A的所有特征值为.
(2)当时,
取为约束未知数,
为自由未知数,
为齐次方程组
的基础解系.故
为A属于特征值
的特征向量.
当时,
取为约束未知数,
为自由未知数,
为齐次方程组(3E-A)x=0的基础解系.故
为A属于特征值
的特征向量.
(3),
,则
正交阵,
且 (请验算!)
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【单选题】29.设A为n阶正交矩阵,则行列式=( )。
【答案】C
【解析】因为A是正交矩阵,故,所以
.
【知识点】实对称阵的性质