1.3 行列式的性质与计算

一、行列式的性质

　　首先介绍转置行列式的概念。


	定义：设有n阶行列式D，现把D中行与列互换，即把D中第一行改成第一列，第二行改为第二列，…，第n行改为第n列，得到又一个n阶行列式，称它为行列式D的转置行列式，记成或。　　即，则

　　性质 1： 行列式与它的转置行列式相等，即

。
　　例如

，

　　性质1表明：在行列式中，行与列的地位是平等的或对称的，因而行列式有关于行的性质，对列也同样成立。

　　性质 2 ：用数 k 乘行列式 D 中某一行（或某一列）所得的行列式等于行列式 D 的 k 倍，换句话说，对行列式，可以按行（列）提出公因数。
　　例如

　　
　　例 1：计算行列式

　　解：D中第二行元素有公因数2，第三行元素有公因数3，都可提出来，即

　　性质 3： 互换行列式的任意两行（或两列），行列式的值变号
　　例如

　　推论 1 ：若行列式中有某两行（列）相同，则此行列式为零。
　　推论 2 ：若行列式中有某两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零。
　　例如

　　这是因为第一行元素与第三行元素对应成比例。

　　性质 4 ：若行列式的某一行（或某一列）的每一元素均表为两个数的和，则行列式可以按该行（列）拆成两个行列式相加。
　　例如

　　注意：在拆成两个行列式相加时，应逐行或逐列拆，即

，
　　应该为

　　性质 5 ：把行列式 D 的某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上，行列式的值不变。
　　例如

　　例 2：已知104，273，351均能被13整除，
　　证明：行列式

也能被13整除
　　证：把D的第一列的100倍，第二列的10倍均加到第三列上，得

　　　　　

，而

的值必是整数。

　　　所以D的值为13的整数倍，即D能被13整除。证毕。

　　例 3：证明

的充要条件是

或

　　证：

　　　　　证毕。

　　由以上行列式性质与展开定理，可得


	定理3.1设有n阶行列式，则，，即行列式D中任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和必等于零。