1.4 克拉默法则

克拉默法则

  在§1中,利用二阶行列式,有定理1.1,可以较方便求解二元线性方程组,这个定理可以推广到n元线性方程组上,有以下定理(称为克拉默法则)。
  定理4.1设有由n个方程组成的n元线性方程组
       (4.1)
  如果方程组的系数行列式,则方程组有唯一解,其中是把D中第j列换成常数项后所得到的n阶行列式。

  
  例 1:解线性方程组
  解:方程组的系数行列式
    因此方程组有唯一解
    又
    
    则方程组的唯一解为

  克拉默法则固然是求解线性方程组的一个方法,但要求条件较多,且当未知元个数较多时,计算行列式是很麻烦的,下一章将介绍线性方程组的消元解法。
  现把克拉默法则应用于特殊的所谓齐次线性方程组,如果线性方程组(4。1)的常数项均为零,即为
    (4.2)
称为齐次线性方程组
  齐次线性方程组显然有解,例如就是一个解,称为零解,那么,对齐次线性方程组需讨论的问题是,在什么条件下,除零解外,还有非零解?

  定理4.2如果齐次线性方程组(4.2)的系数行列式,则方程组只有零解,换句话说,若齐次线性方程组(4.2)有非零解,则
  本定理说明方程组(4.2)有非零解的必要条件是系数行列式等于零,在后面第二章中,将证明方程组(4.2)有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零。

  例 2:已知方程组有非零解,求参数t的值。
  解:方程组的系数行列式
     由方程组有非零解,故,得