2.1 线性方程组与矩阵的定义

一、线性方程组


　　定义：含有n个未知量、由m个方程组成的线性方程组的一般形式为：
　　其中是系数，是常数项，常数项一般写在等式的右边。一个方程组完全由系数与常数项所确定，我们由系数按照它所在的位置，排列成一个表格：，称该表格为方程组（1.1）的系数矩阵，若在该表格右边再添上一列常数项，可得表格，称它为方程组（1.1）的增广矩阵，显然任何一个线性方程组与其增广矩阵是一一对应的。

　　例如，设有线性方程组，则其系数矩阵与增广矩阵分别为：
　　　　
　　又例如，设已知某线性方程组的增广矩为：，则对应的线性方程组为
　　这说明：要求解线性方程组可以在增广矩阵上操作，那么就有必要对这样的数表来进一步计论。

二、矩阵的概念


　　定义1.1：由个数排列成一个m个行，n个列的表格，称为一个m行n列矩阵或矩阵，其中数称为矩阵的第i行第j列元素或元素。
　　当全是实数时，也称它为实矩阵。通常用大写字母A，B，C等表示矩阵，为方便也可记为，或，或元素全为零的矩阵称为零矩阵，用或O表示。
　　当时，称为n阶矩阵或n阶方阵。
　　当时，称矩阵为n维行向量。
　　当时，称矩阵为m维列向量。


三、几个特殊矩阵（均为方阵）


　　（1）n阶对角矩阵：形如或简写为的矩阵，称为对角矩阵。
　　（2）数量矩阵：当对角矩阵主对角线上元素全相同时，即形如的对角矩阵，称为数量矩阵。特别当时，即形为的n阶矩阵称为n阶单位矩阵，常记为或E。
　　（3）上三角矩阵与下三角矩阵：形如的n阶矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵。

四、矩阵的相等


　　定义1.2：设，若，则称A与B是同型矩阵。若A与B同型，且，则称矩阵A与B相等，记成A=B。