2.2 矩阵的运算

一、矩阵的加法


	定义2.1：设均为矩阵，则规定

　　
　　例如

　　由定义知：只有同型矩阵才可以相加，且矩阵加法实质上是对应元素相加，与两个行列式相加有本质区别。

　　矩阵加法满足下列运算律：
　　（1）交换律

　　（2）结合律

　　（3）

　　（4）消去律

　　（5）设

，

称为A的负矩阵，则

由此可定义矩阵的减法：

　　例如：

二、数量乘法


	定义2.2：设，k为任意一个数，则规定

　　例如

　　由定义可知：数k与矩阵A的数乘运算是用k去乘A中每一个元素，它与数k与行列式的相乘又是完全不相同的。

　　矩阵的数乘运算满足下列运算律：
　　（1）结合律

为任意两数。
　　（2）分配律

，

。

　　例1：已知

，求矩阵X，使

　　解：

三、矩阵的乘法

　　先看一个例子：
　　设

，我们来求AB（说A为左矩阵，B为右矩阵）。矩阵乘法的关键是：左矩阵的
　　行与右矩阵的列对应相乘再相加，现把A的三个行与B的两个列分别对应相乘再相加后得到矩阵：

　　　　

　　这就是A乘以B的乘积矩阵，即：

　　由此例可知：欲进行矩阵A与B的乘法运算，必须要求左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相同，而乘积矩阵的行数就是左矩阵的行数，乘积矩阵的列数就是右矩阵的列数。


	定义2.3：设，则，其中。

　　例2：设

。求AB与BA。
　　解：先求AB，这里A作为左矩阵是3×3矩阵，B作为右矩阵是3×2矩阵，因而AB是有意义的。
　　　　

　　　　而BA没有意义，因为B的列数与A的行数不相同。

　　例3：设

，求AB与BA
　　解：由A与B均为2阶方阵，所以AB与BA都有意义。
　　　

　　由矩阵乘法定义以及上述例题，矩阵的乘法与两个普通数的乘法是有所不同的。
　　注意：
　　（ⅰ）一般情况下，矩阵乘法不满足交换律，即一般地

　　（ⅱ）由AB=0并不能推出A=0或B=0，因而不满足消去律，即由AB=AC，一般地不能推出B=C。

　　我们只是说一般地，

，但对某些矩阵A，B，有可能AB=BA，这时我们说A与B可交换，例如设

，可验证A与B可交换。
　　显然只有同阶方阵才可能是可交换的。

　　矩阵乘法满足下列运算律。
　　（1）结合律

　　（2）分配律

　　（3）与数乘的结合律

　　（4）

　　例4：设

，求

与

　　解：

是一阶方阵，就是一个数，两边括弧可以省去。
　　　

　　由矩阵乘法，我们给出线性方程组的矩阵表示：
　　设有线性方程组：

　　引进系数矩阵

，常数项列向量

，未知量列向量

　　则线性方程组（1.2）可写成如下矩阵形式：

，当b=0时，即

为齐次线性方程组。

四、方阵的方幂与多项式


	定义2.4：设A为n阶矩阵，则表示一个确定的n阶方阵，称它为矩阵A的m次方幂，记为，即，方阵的方幂满足：对任意非负整数，。

　　例5：设A、B均为n阶矩阵，证明：（1）

　　　　　　　　　　　　　　　　（2）

　　证：（1）

　　　　（2）的证明类似。

　　例6：（1）由

必推出A=0，对吗？
　　　　　（2）由

必推出

和

，对吗？
　　解：均是错误的，例如：
　　　　（1）

，而

　　　　（2）

　　　　有

，但


	定义2.5：设为任一个x的多项式，A为任一个n阶方阵。把n阶方阵称为A的方阵多项式。

　　注意：方阵多项式中，末项为数量矩阵

，而不是常数

　　例7：设

，求

　　解：

五、矩阵的转置


	定义2.6：设A为任一个矩阵，把A的行与列互换得到一个矩阵，称它为A的转置矩阵，记为或。

　　例如

，则

　　例8：已知A为

矩阵，

为

矩阵，证明B为

矩阵。
　　证：设B为

矩阵。
　　　　则

的行数

。
　　　　

的列数

的行数

的列数

　　　　所以B为

矩阵。

　　矩阵的转置运算满足下列运算律：
　　（1）

　　（2）

　　（3）

，k为任意一个数。
　　（4）

　　例9：设

，验证

　　证：

　　　　所以


	定义2.7：设为n阶实方阵，若A满足，也即A中元素满足：（），则称A为n阶实对称矩阵。　　若A满足，也即A中元素满足：，此时，必有，则称A为n阶反对称矩阵。