2.3 方阵的逆矩阵

一、可逆矩阵与逆矩阵

　　
　　我们已知，对于任意一个非零数，一定存在唯一的数，使，这个数b就是数的倒数，常记成，且与互为倒数，与此类似，对矩阵，我们引入：

　　定义3.1：设A为一个n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得：
　　则说B为A的逆矩阵，记为，即，并称A为可逆矩阵（或非奇异矩阵），若满足（1）式的矩阵B不存在，则称A为不可逆矩阵（或奇异矩阵）。

　　说明：（1）由定义，说A是可逆矩阵，要求A与其逆矩阵可交换，故A与都应是方阵。
　　　　　（2）“可逆矩阵”的含义就是“可以存在逆矩阵的矩阵”。
　　　　　（3）当A为可逆矩阵，其逆矩阵是唯一的，故可以记为，这里不能读成A的（-1）次方，否则容易误解为，这是没有意义的。
　　例如设，则存在，有，故A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵，又如，设，则能使的矩阵B根本不存在，故A为不可逆矩阵。

二、矩阵可逆的条件与逆矩阵的求法


　　定义3.2：设为任一个n阶方阵，为行列式中元素的代数余子式，把矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记为。

　　注意：伴随矩阵中第i列元素是行列式中第i行元素的代数余子式。
　　在A与之间，有下列重要关系式：

　　例1：设二阶方阵，求
　　解：
　　　　故

　　求二阶方阵的伴随矩阵的口诀：“主交换，次变号”

　　定理3.1：n阶方阵A可逆 ，且。

　　证明（必要性）
　　设A为可逆矩阵，则存在B，使AB=E，两边取行列式，得，所以（充分性）
　　设，由两边与数乘，得到，由矩阵可逆的定义，A可逆，且。

　　本定理给出了用伴随矩阵求逆矩阵的方法。

　　例2：判断是否可逆？若可逆，求。
　　解：由，所以A是可逆阵。
　　　　下面逐个求中每个元素的代数余子式，得到
　　　　
　　　　则，于是
　　　　本题答案正确与否可通过来检验。

　　例3：设A为n阶方阵，证明：
　　证明：由，有
　　　　　当时，显然有
　　　　　当时，只要证，这用反证法即可得证。
　　　　　假设，则是可逆矩阵，在等式两边同时右乘，得A=0，零矩阵的伴随矩阵当然为零矩阵，即，这与矛盾，所以总有。

三、逆矩阵的性质


　　命题1：设A与B均为n阶矩阵，且满足AB=E，则A与B都是可逆矩阵，且
　　证明：由AB=E，可得
　　　　　因此，即A与B都可逆。
　　　　　在AB=E两边左乘，得
　　　　　在AB=E两边右乘，得

　　命题1说明：以后要验证一个矩阵是另一个矩阵的逆矩阵时，只要验证AB=E或BA=E中有一个成立就可以了，而不需要按定义，同时验证两个等式。

　　由命题1容易得到下列逆矩阵的性质。
　　设A，B为同阶可逆矩阵，k为非零常数，则
　　（1）也可逆，且
　　（2）AB也可逆，且
　　（3）也可逆，且
　　（4）也可逆，且
　　（5）可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即当P为可逆矩阵时，有

　　请大家思考下列问题：当A与B均可逆时，A+B可逆吗？
　　      
　　答案：不一定。

　　例4：设A为n阶方阵，P为n阶可逆矩阵，试证：A为对称矩阵的充要条件是为对称矩阵。
　　证：（必要性）
　　设A为对称矩阵，即，则，所以为对称阵充分性（充分性）
　　设为对称矩阵，则
　　由P与均为可逆，可以把与P从上面等式两侧消去，得到，所以A为对称矩阵。

　　例5：设n阶方阵A满足，求A，A－E和A+2E的逆矩阵。
　　解：由，得，
　　　　于是：
　　　　由命题1，
　　　　又由：
　　　　于是
　　　　所以

　　例6：设A为3阶矩阵，且，求行列式的值。
　　解：