把矩阵分块不仅可以带来运算上的方便,更对研究矩阵本身提供一种方法。 例如,设 ![]() 如上图,我们把它分成4小块,令 ![]() ![]() 则A的一个分块矩阵为 ![]() |
对任意一个 ![]() ![]() (1)A的行分块矩阵或A的行向量表示法: ![]() ![]() (2)A的列分块矩阵或A的列向量表示法: ![]() ![]() 例如: ![]() 令 ![]() ![]() |
分块矩阵的运算仅是前面矩阵运算的换一种表达方法,并没有给出新的定义,只是把小块当作元素来进行运算。 例如分块矩阵的相加就是把相应的子块相加;分块矩阵的数乘就是用数去乘每个子块;分块矩阵的转置运算,就是把子块转置过去,当然也要把每个子块转置;分块矩阵的乘法也是把左矩阵的行与右矩阵的列对应相乘再相加后,作为乘积矩阵中的子块。 这里特别要注意:为保证子块相乘是可行的,在进行分块矩阵的乘法时,必须要求左矩阵的列分块方式与右矩阵的行分块方式一般。 |
例1:设 ![]() ![]() ![]() 解:由分块矩阵加法, ![]() 从而 ![]() 例2:设 ![]() 解:转置矩阵是: ![]() 例3:设A为 ![]() ![]() 解:AB为 ![]() ![]() ![]() 若把A按行分块为 ![]() ![]() 特别 ![]() |
分块对角矩阵有以下性质: (1) ![]() (2)A可逆 ![]() ![]() ![]() 例4:设A,B均为可逆矩阵,证明: ![]() ![]() 证明:由分块矩阵乘法 ![]() ![]() 所以 ![]() 又 ![]() 所以 ![]() |