2.4 分块矩阵

一、分块矩阵的概念


　　定义：矩阵作为一个数表，当遇到行数和列数较高的矩阵时，我们可以把整个矩阵分割成若干个小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的，形式上的矩阵叫做分块矩阵。
　　
　　把矩阵分块不仅可以带来运算上的方便，更对研究矩阵本身提供一种方法。
　　例如，设
　　如上图，我们把它分成4小块，令
　　，，
　　则A的一个分块矩阵为。

　　对任意一个矩阵，常采用以下两种特殊的分块方法：
　　（1）A的行分块矩阵或A的行向量表示法：
　　 ，其中
　　（2）A的列分块矩阵或A的列向量表示法：
　　 ，其中
　　例如：
　　 令，则A的按列分块矩阵为。

二、分块矩阵的运算


　　分块矩阵的运算仅是前面矩阵运算的换一种表达方法，并没有给出新的定义，只是把小块当作元素来进行运算。
　　例如分块矩阵的相加就是把相应的子块相加；分块矩阵的数乘就是用数去乘每个子块；分块矩阵的转置运算，就是把子块转置过去，当然也要把每个子块转置；分块矩阵的乘法也是把左矩阵的行与右矩阵的列对应相乘再相加后，作为乘积矩阵中的子块。
　　这里特别要注意：为保证子块相乘是可行的，在进行分块矩阵的乘法时，必须要求左矩阵的列分块方式与右矩阵的行分块方式一般。

　　例1：设都是四阶方阵的列向量分块矩阵，已知，求行列式的值。
　　解：由分块矩阵加法，
　　　　从而
　　　

　　例2：设是一个用列向量表示的分块矩阵，求其转置矩阵。
　　解：转置矩阵是：

　　例3：设A为矩阵，B为矩阵，用分块矩阵表示出AB
　　解：AB为矩阵，现把B按列分块表示为：，则

　　　
　　　若把A按行分块为，则。

　　　特别。

三、特殊分块矩阵求逆


　　定义：形如的分块矩阵称为分块对角矩阵，其中均为方阵，空白处都是零块。

　　分块对角矩阵有以下性质：
　　（1）
　　（2）A可逆 均可逆，且

　　例4：设A，B均为可逆矩阵，证明：，
　　证明：由分块矩阵乘法
　　　　　
　　　　　所以
　　　　　又
　　　　　所以