2.6 矩阵的秩

一、矩阵的子式


　　定义：设有矩阵A，在A中任意取定k个行和k个列，，位于这些行与列交叉处的元素按原来的相对顺序排成一个k阶行列式，称它为矩阵A的一个阶子式，特别地，A中每一个元素就是A的一阶子式。
　　对于确定的k，在矩阵A中，总共有个k阶子式，这些子式的值有的可能是零，也可能不为零。把值不为零的子式称为非零子式。
　　
　　例如，设为4×5矩阵。
　　在A中共有5个4阶子式，但由于A中第4行为零行，因而所有4阶子式全为零。对于A中的3阶子式，显然出现非零子式，例如由前三行与第1，2，4列组成的3阶子式就是非零的。讨论说明A中非零子式的最高阶数为3，这个数字对矩阵很重要，我们引入矩阵的秩的概念。

二、矩阵的秩


　　定义6.1：在矩阵A中，非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记为或秩。
　　规定零矩阵的秩为零。

　　由定义说明：

　　定理1： 中所有r+1阶子式（如果有的话）全为零，而A中至少有一个r阶子式非零。

　　由定义求矩阵的秩是很麻烦的，如何求出矩阵的秩？
　　对前面例子中矩阵A，它是一个阶梯形矩阵，我们发现它的秩就是A中非零行的行数，对一般的阶梯形矩阵，相同地有：

　　定理6.1：若A是阶梯形矩阵，其秩就是A中非零行的行数。
　　定理6.2：对矩阵施行初等变换，不改变矩阵的秩。

　　综合定理6.1，6.2有下述求矩阵的秩的方法：
　　矩阵A阶梯形矩阵B。
　　则中非零行的行数。

　　例1：求矩阵的秩。
　　解：
　　　　因此

　　关于矩阵的秩，有以下结论：
　　（1）设A为矩阵，则
　　（2）
　　（3）设A为矩阵，P和Q分别为m阶和n阶可逆矩阵，则
　　（4）n阶方阵A为可逆矩阵。
　　所以，可逆矩阵常称为满秩矩阵。
　　把秩为m的矩阵称为行满秩矩阵，把秩为n的矩阵称为列满秩矩阵。

　　例2：设，求
　　解：容易看出，A为可逆矩阵。
　　　　B为阶梯形矩阵，，由上面性质（3），可知。