3.1 n维向量概念及线性运算

一、n维向量


  定义1.1由n个数组成的一个有序数值称为一个n维向量,数称为该n维向量的第i个分量。
  若该向量表示成一列,称为n维列向量,它也就是矩阵;若该向量表示成一行,称为n维行向量,它也就是矩阵。
  
  今后,我们用小写字母等表示向量,而且约定,一般表示列向量。

  定义1.2:分量全为零的向量称为零向量,记作O。
  若干个同维数的向量所组成的集合叫做向量组。

  当然我们要求向量组中向量或全是行向量,或全是列向量,本章重点讨论一个向量组中向量之间的关系。

  例1:设A为一个矩阵,如将A按列分块,得,其中每一个为一个m维列向量,称,为矩阵A的列向量组;如将A按行分块,得其中每个为一个n维行向量,称矩阵A的行向量组

二、向量的线性运算


  既然向量作为一个特殊的矩阵,则与矩阵类似,有以下向量的相等、负向量及向量线性运算的定义。

  定义1.3:如果n维向量与n维向量的对应分量都相等,即,则称向量相等,记作

  注意:一个行向量与一个列向量即使对应的分量相等,也不能说这两个向量相等。

  定义1.4:设向量,把称为的负向量。

  定义1.5(向量的加法)
  设n维向量,则规定向量的加法:,利用负向量,定义减法:

  定义1.6(数与向量的数量乘法)
  设是一个n维向量,为一个数,则规定

  向量的加法运算与数乘运算统称为向量的线性运算,它们满足与矩阵的线性运算完全相同的8条运算规律。

  例1:设有3维向量组,求向量
  解:

  例2:,求满足的向量
  解:

三、线性表出与线性组合


  定义1.7:是一组n维向量,是一组常数,称向量的一个线性组合,常数为该线性组合的组合系数。

  定义1.8:设有n维向量组及向量,若存在常数,使得,则称向量可用线性表出(或线性表示),或称的线性组合,仍称为组合系数或表出系数,否则称不能用线性表出。

  例如:在例1中,为向量组的一个线性组合,若记,由。所以可用线性表出,2,3,-1为表出系数,又如,设,则向量不能用线性表出。

  例3:零向量可用任意一个向量组线性表出。
    

  例4:考虑n维标准向量组:中第i个分量为1,其余分量都为0,则任意一个n维向量都可以唯一地表示成这n个标准向量的线性组合:

  下面介绍线性方程组的向量表示法:
  设由m个方程组成的n元线性方程组
  引入m维列向量 ,及
  那末,线性方程组(1)即为,或
  显然n元齐次线性方程组的向量表示法为:

四、线性表出的判定及表出系数的求法


  对于给定的n维向量组及向量,如何判断能否用线性表出呢?
  考虑由组成的m元线性方程组,方程组中方程个数就是向量维数n,由线性表出定义,显然有下述定理:

  定理1.1:向量可以由向量组线性表出线性方程组有解,且方程组的一个解就是一个表出系数。

  若方程组有唯一解,则表明可由线性表出,且表示法唯一;若方程组有无穷多解,则表明可由线性表出,且表出方式有无穷多种。

  例2:向量能否表成的线性组合?
  解:考虑三元线性方程组,其增广矩阵
    所以,,方程组有唯一解
    所以,可以由唯一地线性表出,且表示为:

  例3:能否表示成的线性组合?
  解:本题中向量为3维行向量,可全部转置成3维列向量,再如上类似地讨论。
    考虑三元线性方程组,其增广矩阵
    ,说明方程组有无穷多解。
    且一般解为,那么能用线性表出,且表出方式有无穷多种。
    ,则一般表达式为:,其中k为任意常数。