5.1 特征值与特征向量

一、特征值与特征向量


　　定义1.1：设A为n阶实方阵，如果存在某个数及某个n维非零列向量，使得，则称是方阵A的一个特征值，是方阵A的属于特征值的一个特征向量。
　　
　　注：①定义说明特征值与特征向量是紧密相连的概念，对每个特征值必有属于它的特征向量，且有无穷多个；而对每个特征向量必属于某个特征值，且只属于一个特征值。
　　　　②特征向量必须是非零向量，且必是列向量。
　　　　③若均为A的属于的特征向量，则对任何不全为零的数也是A的属于的特征向量。
　　因

　　定义1.2：设A为n阶实方阵，为一个参数，称n阶方阵为A的特征方阵，它的行列式称为A的特征多项式，把称为A的特征方程，把特征方程或特征多项式的根称为A的特征根。

　　我们看一下A的特征多项式：
　　设为n阶实方阵时，其特征多项式为
　　　　
　　由行列式计算可知，行列式的值确是的n次多项式。

　　下面我们从定义出发来推导求特征值、特征向量的方法：
　　
　　　　　　　　　　列向量为齐次线性方程组的非零解
　　　　　　　　　　 ，为方程组的非零解
　　　　　　　　　　 为A的特征根，为方程组的非零解，则求n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤如下：
　　1、写出并计算A的特征多项式；
　　2、求特征方程的所有根，共有n个根（其中可能有复根，也可能有重根），这些根即为A的全部特征值；
　　3、对于A的每一个特征值，求解齐次线性方程组，则方程组的每一个非零解都是A的属于特征值的特征向量（说明有无穷多个），特别方程组的一个基础解系就是方阵A的属于的个数达最大的线性无关的特征向量，而且A的属于的全部特征向量为，其中是不全为零的任意常数。

　　例1：设，求A的所有的特征值和特征向量。
　　解：A的特征多项式
　　　　则A的两个特征值为
　　　　对，求解齐次方程组
　　　　
　　　　由此可求出方程组一个基础解系为，则A的属于的全部特征向量为，对，求解齐次方程组。
　　　　
　　　　由此可求出方程组的一个基础解系为，则A的属于的所有特征向量为

　　例2：求的特征值和线性无关的特征向量。
　　解：A的特征多项式
　 　　　　　　　　　
　　　　因此A的特征值为
　　　　对（二重根），求解，
　　　　于是方程组的一般解为，得一个基础解系为，即为A的属于的线性无关的特征向量。
　　　　对（单根），求解
　　　　
　　　　于是方程组的一般解为，得一个基础解系为，即为A的属于的线性无关的特征向量。

　　例3：证明：三角矩阵的特征值就是它的全体对角元。
　　证：不妨设A为n阶上三角矩阵
　　　　则A的特征多项式为
　　　　它的n个根就是A的n个对角元，即为A的n个特征值。
　　对于抽象的矩阵A，或由定义，或由求特征值的方法可以求出A的特征值和特征向量。

　　例4：设已知，证明：
　　　　（1），为任意自然数；
　　　　（2），为任意数；
　　　　（3）设为任意的多项式，
　　证：（1）用归纳法，当，即，假设，则有
　　　　　于是对于任何自然数，
　　　　（2）由，两边与数作数乘，即得
　　　　（3）设
　　　　　　于是
　　　　　　则有
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
　　说明：本例的结论很重要，希望能记住，特别是（3）给出了求多项式方阵的特征值的一个简便计算方法。只要是A的特征值，那么一定是的特征值，而且特征向量不变。

　　例5：设，求的所有特征值。
　　解：由A是二阶上三角矩阵，其两个特征值为对角元1和3，而，这里。
所以B的两个特征值就是。

　　例6：求出以下特殊的n阶方阵A的所有可能的特征值（m为某个正整数）：
　　　　（1）（称A为幂零矩阵）
　　　　（2）（称A为对合矩阵）
　　解：设，则
　　　　（1）由，而，则，
　　　　（2）由，而，则，即
　　注：本例说明幂零矩阵的特征值必为0，对合矩阵的特征值必为。

　　例7：若方阵A满足，问A有哪个数为它的一个特征值？若，又A有哪个数为一个特征值？
　　解：当，说明2为特征方程的一个根，即2为A的一个特征值。
　　　　当时，因，所以-1是A的一个特征值。

二、关于特征值和特征向量的若干结论


　　命题1：实方阵的特征值未必是实数，特征向量也未必是实向量。
　　例8：求的特征值和特征向量。
　　解：由A的特征多项式
　　　　则A的两个特征值为，并计算得到A的属于的特征向量为A的属于特征值的特征向量为。

　　命题2：一个向量不可能是属于同一个方阵A的不同特征值的特征向量。
　　证：设有，则，因，所以必有

　　命题3：n阶方阵A和它的转置矩阵必有相同的特征值。
　　证：由
　　　　说明A与有相同的特征多项式，也就有相同的特征值。

　　命题4：设是n阶方阵的全体n个特征值，则必有；，这里为A中n个对角元之和，称为方阵A的逆。
　　证：我们仅以二阶方阵对本命题说明：设，则A的特征方程为，又因为A的两个特征值，即为特征方程的根。
　　　　也就有
　　　　比较两个方程的系数，即得
　　　　

　　我们再以例2为例，三阶方阵A的三个特征值是，而A的对角元为，它们的和都是15，而，与也相同。
　　例9：已知三阶方阵A的特征值为，求行列式的值。
　　解：记，则
　　　　由A的特征值为，则的三个特征值为，即，所以

　　命题5：n阶矩阵A可逆A的n个特征值都不为零，且特征值的倒数为的特征值。
　　证：A可逆 每个
　　　　设，两边左乘，得
　　　　因，所以