6.2 正定二次型和正定矩阵

一、实二次型的分类

　　
　　对于任一个n元实二次型，作为一个n元二次齐次多项式，我们往往需要考虑它的取值问题，显然当时，二次型的值为，下面我们根据当取不全为零的n个数时，即当X为任一个非零列向量时，取值的不同情况，给出以下定义：

　　定义2.1：设有n元实二次型。
　　（1）如果对于任何非零列向量X，都有，则称为正定二次型，称对称矩阵A为正定矩阵。
　　（2）如果对于任何非零列向量X，都有，则称为半正定二次型，称A为半正定矩阵。
　　（3）如果对于任何非零列向量X，都有，则称为负定二次型，称A为负定矩阵。
　　（4）如果对于任何非零列量X，都有，则称为半负定二次型，称A为半负定矩阵。
　　（5）其它的实二次型称为不定二次型，其矩阵称为不定矩阵。

　　例1：以n=3为例
　　（1）正定二次型：，对应矩阵；
　　（2）半正定二次型：，对应矩阵；
　　（3）负定二次型：，对应矩阵；
　　（4）半负定二次型：，对应矩阵
　　（5）不定二次型：，对应矩阵
　　注意：（1）要讨论矩阵的正定性，该矩阵必须是实对称矩阵，二次型的正定性与实对称矩阵的正定性是紧密相连的。
　　　　　（2）定义中要求X是任何非零向量，是指X的分量不全为零，即至少有一个分量不为零，而不是指所有分量全不为零的向量，因此如果仅对所有分量都不为零的向量X有，也不能说是正定二次型。
　　　　　（3）二次型“正定”的含意就是指在任何非零向量X条件下，二次型的值一定是正的。
　　本课程中，只讨论正定二次型和正定矩阵，其它的统称为非正定二次型和非正定矩阵。

二、正定矩阵


　　首先介绍四个关于正定矩阵的定理：

　　定理2.1：实对角矩阵为正定矩阵的充要条件是的所有对角元全大于零，因此单位矩阵一定是正交矩阵。

　　证：设
　　充分性：如果所有，那么对任何非零列向量，显然有，则为正定矩阵。
　　必要性：设为正定矩阵，即对任何非零列向量X都有。
　　于是对任意取定的取，其它未知量全取零，则 证毕。

　　定理2.2：设n阶矩阵是正定矩阵，则A中所有对角元

　　证：对任意取定的，取第i个标准单位向量
　　　　由A的正定性必有：
　　　　证毕

　　例2：问是不是正定二次型？
　　解： 的矩阵，A中元素，所以为非正定二次型。

　　定理2.3：设A与B是两个合同的实对称矩阵，则A为正定矩阵B为正定矩阵。

　　证：由A与B合同，即存在可逆矩阵P，使，由P为可逆矩阵，故
　　　　如果A为正定矩阵，那么对于任何，也有，则这说明B正定。
　　　　反之，当B为正定矩阵时，由合同关系的对称性，A也是B的合同矩阵，则A也是正定矩阵。证毕

　　这个定理可以简述为：“正定矩阵的合同矩阵一定也是正定矩阵”或改用二次型语言：即二次型的正定性经可逆线性变换保持不变。

　　定理2.4：同阶正定矩阵的正系数线性组合仍为正定矩阵。


　　证：设A，B是两个同阶正定矩阵，为任意两个正数。
　　　　首先仍为实对称矩阵，对任何必有所以为正定矩阵。 证毕

　　注：这里中有一个为零时，结论也对。

　　对于给定的对称矩阵，如何判定它的正定性？

　　定理2.5：n阶对称矩阵A是正定矩阵A的n个特征值全大于零。

　　证：由A为n阶实对称矩阵，故存在正交矩阵P，使，说明A与对角矩阵合同。
　　　　则A正定对角矩阵正定 的对角元，即A的n个特征值全大于零。
　　　　证毕。

　　推论（1）n阶对称矩阵A是正定矩阵A的正惯性指数为n
　　　　（2）n阶对称矩阵A是正定矩阵
　　　　（3）任意两个同阶正定矩阵必是合同矩阵。
　　证：（1）因为A的正惯性指数就是A的正特征值的个数。
　　　　所以A正定n个特征值全大于零A的正惯性指数为n。
　　　　（2）由对称矩阵的惯性定理，对任意一个n阶对称矩阵A，它一定合同于对角矩阵，这里为A的正惯性指数。
　　　　由A正定 合同于单位矩阵E。
　　　　（3）设A和B都是n阶正定矩阵，则A与B都合同于n阶单位矩阵，则由合同关系的传递性，说明A和B都是合同矩阵。


　　例3：设A是n阶正定矩阵，则A为可逆矩阵，且A的逆矩阵与伴随矩阵也必是正定矩阵。
　　证：（1）因为A是n阶正定矩阵，所以它的n个特征值全大于零，而，故A必是可逆矩阵。
　　　　（2）由设A的n个特征值为，且全大于零，则的n个特征值为也全大于零，所以也必为正定矩阵。
　　　　（3）因，则对任意，，所以也必为正定矩阵。

　　在例3的证明过程中，已知正定矩阵A的行列式，前面我们也证明了正定矩阵的对角元全是正的，而这些都只是正定矩阵的必要条件，或者说，仅有对角元全大于零及还不能保证A为正定矩阵，还需加强条件，下面我们来计论相关问题，引入概念：

　　定义2.1：设是n阶矩阵，把位于A的前k个行，前k个列的元素组成的k阶子式：，称为矩阵A的k阶顺序主子式。

　　显然一阶顺序主子式为，n阶顺序主子式为。
　　定理2.6：n阶实对称矩阵A是正定矩阵的充分必要条件为A的n个顺序主子式全大于零。

　　例4：判定是不是正定矩阵？
　　解：A为实对称矩阵
　　　　所在，A是正定矩阵。

　　例5：问是不是正定二次型？
　　解： 的矩阵，显然2阶顺序子式为
　　　　所以不是正定二次型。

　　例6：问为何值时，以下三元二次型是正定二次型？
　　　　（1）
　　　　（2）
　　解：（1）的矩阵是对角矩阵。
　　　　而A正定当且仅当全大于零，所以时，是正定二次型。
　　　　（2）的矩阵
　　　　因 而
　　　　所以正定