8.2 正态总体均值的假设检验

一、单个正态总体均值的假设检验

  
  1、已知总体方差时的情况
  设是出自正态总体的样本,其中已知,假设检验问题为:
  这时,可用检验统计量
  当成立时,u~,因为,取拒绝域,(8.2.1),也可写为:
  从图8—2(a)知,对于变量u而言,拒绝域是区间之外的两侧,此检验称为双侧检验
  检验法如下:若由样本值算得
  ①当,则拒绝原假设,即认为总体均值给定的之间有显著差异;
  ②当,则接受原假设,即认为总体均值给定的无显著差异。
  这种利用服从正态分布的检验统计量所进行的检验称为 检验法
  有时,我们只关心总体均值是否增大,比如,经过工艺改革后,考虑产品的质量(如材料的强度)是否比以前提高,这时,假设检验问题可归结为:
  问题要在中作一抉择,若通过检验,拒绝了,即接受了,说明产品质量可认为提高了(如增加了材料强度)。
  这时,检验统计量仍可取上述,当成立时,才有可能认为产品质量有了提高,此时,有偏大的趋势,对给定的显著水平,这个检验的拒绝域应取为
  从图8—2(b)看,对变量而言,拒绝域W由大于的集合构成,称此检验为单侧检验

  在另一类实际问题中,我们只关心总体均值是否减小,比如,机床进行调整以后,加工出来的轴的平均椭圆度是否显著降低,这时,假设检验问题可归结为:
  问题要在中作了抉择,若通过检验,拒绝了,即接受了,说明机床调整后,加工的轴的平均椭圆度显著降低。
  这时,检验统计量仍取,当时,有偏小的趋势,对于给定的显著水平,这个检验的拒绝域应取为
(8.2.2)
  从图8—2(c)看,拒绝域W由小于的集合构成,它也是单侧检验
  例8.2.1:包糖机某日开工包了12包糖,称得重量(单位:克)分别为:506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485,假设包装机正常工作时,重量服从正态分布,问该天包装机工作是否正常()。
  解:依题意,这是双侧检验问题,应设,算得因为,所以接受,认为该天包装机工作正常。

  例8.2.2:一台机床应加工轴的椭圆度服从正态分布(单位:毫米)。机床经调整后随机取20根测量其椭圆,计算得毫米,问调整后机床加工轴的平均椭圆度有无显著降低().
  解:依题意,这是单侧假设检验问题,应设:,检验统计量
     时,,因为所以拒绝,接受;即认为机床调整后加工轴的椭圆度显著降低。

  例8.2.3:某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布(单位:cm/s),现在用新方法生产了一批推进器,从中随机抽取25只,测得燃烧率的样本均值,问这批推进器的平均燃烧率是否有显著提高()。
  解:依题意,这是单侧检验,应取:
    检验统计量
     ,因为所以拒绝,接受;即认为这批推进器的平均燃烧率有显著提高。

  假设检验与参数区间估计有着密切联系:在区间估计中,假定参数是未知的,要用样本对它进行估计;而假设检验对参数值作了假设,认为它已知,用样本对假设作检验,在某种意义上,假设检验是参数区间估计的反面,另一方面,导出假设检验的检验统计量与导出参数区间估计的估计函数形式上完全相同,如在上面讨论的单个正态总体均值的假设检验中,所用的统计量为:,它服从标准正态分布(见(6.3.20)式),而在单个正态总体均值的区间估计中,所用估计函数,它也服从标准正态分布,这种情况在下面讨论的假设检验问题与相应的区间估计问题中有类似的反映,注意到这一点有助于深入理解假设检验与区间估计,且有助于公式的记忆。

  在单侧检验问题中,关于原假设与备择假设的选择是一个重要的问题,在需要肯定事实“”时,应作假设检验:,即选择“”为,对给定的显著水平,若通过检验拒绝了,即接受了,此时,认为“”这一决定犯错误的概率仅为,同理,在需要肯定事实“”时,应作假设检验:
  上面的论述请结合例题领会。

  2、未知总体方差时的情况
  这时,关于原假设与备择假设选择的情况同(1),对假设检验:
  因为未知,此时不能再取检验统计量;以样本标准差代总体标准差,得
  (8.2.3)
  当成立时,t统计量服从(见(6.3.21)式),此假设检验为双侧检验,拒绝域W取为
  (8.2.4)
  检验法为:根据样本值,算得值,当,拒绝;当,接受

  对假设检验
  检验统计量仍为上述,此假设检验为单侧检验,拒绝域W取为:
  (8.2.5)
  检验法为:根据样本值算得值,当,拒绝;当,接受

  对假设检验:
  检验统计量仍为上述t,此假设检验也为单侧检验,拒绝域W取为:
 (8.2.6)
  检验法为:根据样本值算得值,当,拒绝;当,接受
  以上利用服从t分布的检验统计量作假设检验,称为t检验法

  例8.2.4:续例8.2.1假设此例中总体方差未知,问该天包装机工作是否正常()。
  解:假设检验为:
    根据题设的样本值,算得:
    
    ,因为,接受,认为该天包装机工作正常(即没有理由认为该天包装机工作不正常)

  例8.2.5:续例假设此例中总体方差未知,从样本算得,(毫米),样本标准差(毫米),问调整后机床加工轴的平均椭圆度有无显著降低()。
  解:假设检验为:
    检验统计量
     时,,因为所以拒绝;即认为机床调整后加工轴的椭圆度显著降低。

  例8.2.6:续例8.2.3设总体方差未知,从样本算得:,问这批推进器的平均燃烧率是否有显著提高(
  解:假设检验为:
    检验统计量
     时,,因为,所以拒绝;即认为这批推进器的平均燃烧率有显著提高。

二、两个正态总体均值的假设检验


  设有两个正态总体,正态总体X服从,正态总体Y服从,即假设这两个正态总体的方差相等,但未知。
  设假设检验为:
  即要检验这两个正态总体的均值是否相等。

  设从总体X取得样本,从总体Y取得样本,设两样本相互独立,考虑检验统计量
  在原假设成立时(),,且 ,其中 这一假设检验为双侧检验,拒绝域W取为
  检验法为:由样本值算得的值,当时,拒绝,即认为两个正态总体的均值有显著差异;当时,接受,即认为两个正态总体的均值无显著差异。
  设假设检验为:
  即要检验总体X的均值是否大于总体Y的均值
  这时,仍然取上述统计量
  这一假设检验为单侧检验,对于这一类型的检验问题,由两个样本算得的样本均值,要判断“”是否成立,当成立时,t值有偏大的趋势,因此,拒绝域W取为:
  检验法为:由样本值算得t的值,当,拒绝,即认为显著大于;当,接受,即没有理由认为显著大于

  设假设检验为:
  即要检验总体X的均值是否小于总体Y的均值,这时,仍然取上述t统计量,这一假设检验了为单侧检验,拒绝域W取为:
  检验法为:由样本值算得t的值,当时,拒绝;当时,接受
  此种检验用到t统计量,所以也是t检验

  例8.2.7:某电瓷厂的两种绝缘子旋转强度试验,各取容量为6的样本,算得(公斤·米),(公斤·米),,检验两种绝缘子总体均值是否相等()(设)
  解:检验问题为:
    
    ,因为,所以接受,即认为两总值均值相等。

  例8.2.8:设有甲、乙两种砌块,彼此可以代用,但乙砌块比甲砌块制作简单,造价低,经过实验获得抗压强度(单位:公斤/厘米2)为:
试问能用乙种砌块代替甲种砌块吗?(设
  解:我们要了解的是乙种砌块是否比甲种砌块的抗压强度低,经计算,.假设检验问题为:
    经计算,
    
    
    
    因为,所以接受,即没有理由认为乙种砌块的抗压强度比甲种砌块的抗压强度低,因而可用乙种砌块代替甲种砌块。

  关于正态总体均值的假设检验小结见下表: